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प्रश्न
दी गयी आकृति में, केन्द्र O(−5, 3) वाले वृत्त पर स्पर्श-रेखा PQ खींची गयी है। यदि तथा Q के निर्देशांक क्रमशः (3, 1) तथा (0, 6) हैं तो दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुये दर्शाइये कि PQ ⊥ OQ है।
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उत्तर
दिया गया है:
केंद्र O = (–5, 3), P = (3, 1), Q = (0, 6).
PQ, Q पर एक स्पर्श रेखा है, इसलिए त्रिज्या OQ, Q पर स्पर्श रेखा के लंबवत है।
चरण-दर-चरण गणना:
1. दूरी सूत्र d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 का उपयोग करें।
2. OQ2 की गणना करें: O = (–5, 3), Q = (0, 6)
OQ2 = (0 – (–5))2 + (6 – 3)2
= 52 + 32
= 25 + 9
= 34
3. PQ2 की गणना करें: P = (3, 1), Q = (0, 6)
PQ2 = (3 – 0)2 + (1 – 6)2
= 32 + (–5)2
= 9 + 25
= 34
4. पाइथागोरस के विलोम को लागू करने के लिए OP2 की गणना करें:
O = (–5, 3), P = (3, 1)
OP2 = (3 – (–5))2 + (1 – 3)2
= 82 + (–2)2
= 64 + 4
= 68
5. ध्यान दें कि OQ2 + PQ2
= 34 + 34
= 68
= OP2
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार, त्रिभुज OQP, Q पर समकोण है, इसलिए OQ ⟂ PQ है।
चूँकि OQ2 + PQ2 = OP2 है, इसलिए त्रिभुज OQP, Q पर समकोण है; अतः PQ ⟂ OQ है।
