Question

\[\int \cot^6 x \text{ dx }\]

Answer 1

∫ cot⁶ x dx
= ∫ cot⁴ x . (cosec² x – 1) dx
= ∫ cot⁴ x × cosec² x dx – ​∫ cot⁴ x dx 

= ∫ cot⁴ x . cosec² x dx – ​∫ cot² x . cot² x dx
= ∫ cot⁴ x – cosec² x dx – ​∫ (cosec² x – 1) cot² x dx
= ∫ cot⁴ x . cosec² x dx – ​∫ cot² x . cosec² x dx + ​∫ cot² x dx

= ∫ cot⁴ x . cosec² x dx – ​∫ cot² x . cosec² x dx + ​∫ (cosec² x – 1) dx
Now, let I₁= ∫ cot⁴ x . cosec² x dx – ​∫ cot² x . cosec² x dx
And I₂= ∫ (cosec² x – 1) dx

First we integrate I₁
I₁= ∫ cot⁴ x . cosec² x dx – ​∫ cot² x . cosec² x dx
Let cot x = t

⇒ –cosec² x dx = dt
⇒ cosec² dx = – dt
I₁=– ∫ ​t⁴ dt + ​∫ t² dt

\[= \frac{- t^5}{5} + \frac{t^3}{3} + C_1 \]
\[ = - \frac{\cot^5 x}{5} + \frac{\cot^3 x}{3} + C_1\]

Now we integrate I₂
I₂= ∫ (cosec² x – 1) dx
   = – cot x – x + C₁
Now, ∫ cot⁶ x dx=I₁ + I₂

\[- \frac{1}{5} \cot^5 x + \frac{1}{3} \cot^3 x - \cot x - x + C_1 + C_2\]

\[- \frac{1}{5} \cot^5 x + \frac{1}{3} \cot^3 x - \cot x - x + C \left[ \therefore C = C_1 + C_2 \right]\]