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प्रश्न
A, B और C किसी वृत्त पर स्थित तीन बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि AB, BC और CA के लंब समद्विभाजक संगामी है।
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उत्तर
दिया गया है - A, B और C एक वृत्त पर तीन बिंदु हैं।
सिद्ध करना है - AB, BC और CA का लंब समद्विभाजक।
रचना - AB का ST, BC का PM और CA का QR लम्ब समद्विभाजक खींचिए। AB, BC और CA को मिलाइए।
उपपत्ति - OA = OB ...(i) [O, ST पर स्थित है, AB का लंब समद्विभाजक]
पुनः, OB = OC ...(ii) [O, PM पर स्थित है जो BC का लम्ब समद्विभाजक है।]
और OC = OA ...(iii) [O, QR पर स्थित है, CA का लम्ब समद्विभाजक]
अब, समीकरणों (i), (ii) और (iii) से,
OA = OB = OC = r
इसलिए, केंद्र O और त्रिज्या r के साथ एक वृत्त बनाएं, जो A, B और C से होकर गुजरेगा।
इसका अर्थ है बिंदु A, B और C से होकर जाने वाला एक वृत्त। चूंकि, ST, PM या QR एक दूसरे को एक और केवल एक बिंदु O पर काट सकते हैं।
इसलिए, केवल O ही एक ऐसा बिंदु है जो A, B और C से समान दूरी पर है।
अतः, AB, BC और CA के लंब समद्विभाजक संगामी हैं।
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