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प्रश्न
`(|x + 3| + x)/(x + 2) > 1` को x के लिए हल कीजिए।
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उत्तर
हमें ज्ञात है कि, `(|x + 3| + x)/(x + 2) > 1`
⇒ `(|x + 3| + x)/(x + 2) - 1 > 0`
⇒ `(|x + 3| - 2)/(x + 2) > 0`
अब दो स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:
स्थिति (केस) I जब x + 3 ≥ 0, अर्थात् x ≥ –3 तब
`(|x + 3| - 2)/(x + 2) > 0` ⇒ `(x + 3 - 2)/(x + 2) > 0`
⇒ `(x + 1)/(x + 2) > 0`
⇒ {(x + 1) > 0 और x + 2 > 0} या {x + 1 < 0 एवं x + 2 < 0}
⇒ {x > –1 और x > –2} या {x < –1 और x < –2}
⇒ x > –1 या x < –2
⇒ x ∈ (–1, `oo`) या x ∈ (`–oo`, –2)
⇒ x ∈ (–3, –2) ∪ ( –1, `oo`) [क्योंकि x ≥ –3] ....(1)
स्थिति (केस) II जब x + 3 < 0, अर्थात् x < –3
`(|x + 3| - 2)/(x + 2) > 0` ⇒ `(-x - 3 - 2)/(x + 2) > 0`
⇒ `(-(x + 5))/(x + 2) > 0` ⇒ `(x + 5)/(x + 2) < 0`
⇒ (x + 5 < 0 और x + 2 > 0) या (x + 5 > 0 और x + 2 < 0)
⇒ (x < –5 और x > –2) या (x > –5 और x < –2)
यह असंभव है।
इसलिए x ∈ (–5 , –2) ......(2)
(I) तथा (II) को सम्मिलित करने पर
x ∈ (–5 , –2) ∪ (–1, `oo`) अभीष्ट हल के रूप में प्राप्त होता है।
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