Question

The value of `((1 + sin  (2π)/9 + icos  (2π)/9)/(1 + sin  (2π)/9 - icos  (2pi)/9))^3` is ______.

पर्याय

• `-1/2(1 - isqrt(3))`

• `1/2(1 - isqrt(3))`

• `-1/2(sqrt(3) - i)`

• `1/2(sqrt(3) - i)`

Answer 1

The value of `((1 + sin  (2π)/9 + icos  (2π)/9)/(1 + sin  (2π)/9 - icos  (2pi)/9))^3` is `underlinebb(-1/2(sqrt(3) - i))`.

Explanation:

`((1 + sin  (2π)/9 + icos  (2π)/9)/(1 + sin  (2π)/9 - icos  (2pi)/9))^3 = {(1 + cos (π/2 - (2π)/9) + isin  (π/2 - (2π)/9))/(1 + cos (π/2 - (2π)/9) - isin  (π/2 - (2π)/9))}^3`

= `{(1 + cos  (5π)/18 + isin  (5π)/18)/(1 + cos  (5π)/18 - isin  (5π)/18)}^3`

= `{(1 + 2cos^2  (5π)/36 - 1 + 2sin  (5π)/36 cos  (5π)/36)/(1 + 2cos^2  (5π)/36 - 1 - 2isin  (5π)/36 cos  (5π)/36)}^3`

= `{(2cos  (5π)/36(cos  (5π)/36 + isin  (5π)/36))/(2cos  (5π)/36(cos  (5π)/36 - isin  (5π)/36))}^3`

= `(cos  (5π)/36 + isin  (5π)/36)^3/(cos  (5π)/36 - isin  (5π)/36)^3`

= `((cos  (5π)/12 + isin  (5π)/12))/((cos  (5π)/12 - isin  (5π)/12))`  ...(Using De Moivre's Theorem)

= `(cos  (5π)/12 + isin  (5π)/12)(cos  (5π)/12 - i sin  (5π)/12)^-1`

= `(cos  (5π)/12 + isin  (5π)/12)(cos  (5π)/12 + i sin  (5π)/12)`

= `(cos  (5π)/6 + isin  (5π)/6)`

= `(-sqrt(3))/2 + i 1/2`

= `(-1)/2(sqrt(3) - i)`