Question

सरल आवर्त गति करते किसी कण की गति का वर्णन नीचे दिए गए विस्थापन फलन द्वारा किया जाता है,

x(t) = A cos (ωt + φ)

यदि कण की आरंभिक (t = 0) स्थिति 1 cm तथा उसका आरंभिक वेग πcms^-1 है। तो कण का आयाम तथा आरंभिक कला कोण क्या है? कण की कोणीय आवृत्ति πS^-1 है। यदि सरल आवर्त गति का वर्णन करने के लिए कोज्या (cos) फलन के स्थान पर हम ज्या (sin) फलन चुनें; x = B sin (ωt + α), तो उपर्युक्त आरंभिक प्रतिबंधों में कण का आयाम तथा आरंभिक कला कोण क्या होगा?

Answer 1

दिया है : कोणीय आवृत्ति ω = r rad s^-1, t = 0 पर x = 1 cm

तथा प्रारंभिक वेग u = πcm s^-1

सरल आवर्त गति की समीकरण x = A cos (ωt + φ)

x = A cos (πt + φ)

t = 0 तथा x = 1 रखने पर, 1 = A cos φ      ...(1)

समीकरण (1) से, 

वेग `"u"= ("d"x)/("dt") = - "A"pi "sin" (pi"t" + φ)` 

t = 0, u = πcm^-1 रखने पर,

π = - A π sin φ  या 1 = - A sin φ       ...(2)

समीकरण (1) व (2) के वर्गों का योग करने पर

1² + 1² = A² (cos² φ + sin² φ) = A² ⇒ A = `sqrt2` cm

समीकरण (1) व (2) में A का मान रखने पर,

`"cos"φ = 1/sqrt2`  तथा `"sin"φ = -1/sqrt2`

अब `"cos" φ = 1/sqrt2 = "cos" pi/4`  या `"cos" (2pi - pi/4)`

⇒ `φ  =pi/4` या `φ = (7pi)/4`

तथा `"sin"φ = -1/sqrt2 = "sin"(pi + pi/4) ` या   `"sin"(2pi - pi/4)`

⇒     φ = `(5pi)/4`   या `(7pi)/4`   

अतः उभयनिष्ठ मान      φ =  `(7pi)/4`

∴ आयाम A = `sqrt2` cm

आरंभिक कला कोण φ = `(7pi)/4`

यदि सरल आवर्त गति का समीकरण x = B sin (ωt + φ) हो तो

ω  = π rad s^-1 रखने पर, x = B sin (πt + φ)

t = 0, x = 1 cm  रखने पर, 1 = B sin φ       ...(3)

तथा वेग `"u" = ("d"x)/"dt" = "B "pi" cos" (pi"t" + φ)`

u = π rad s^-1 तथा t = 0 रखने पर,

`pi = "B"pi"cos"φ`  या  1 = B cos φ        ...(4)

समीकरण (3) व (4) के वर्गों का योग करने पर

B² = 1² + 1² ⇒ B = `sqrt2` cm

यह मान समीकरण (3) व (4) में रखने पर,

`"sin"φ = 1/sqrt2` तथा `"cos "φ = 1/sqrt2`

उक्त दोनों को हल करने पर, `φ = pi/4`

∴ आयाम B = `sqrt2` cm

आरंभिक कला कोण φ = `pi/4`