Question

Solve the following differential equation: 
x² dy + (xy + y²) dx = 0, when x = 1 and y = 1

Answer 1

x² dy + (xy + y²) dx = 0

⇒ x² dy = -(xy + y² ) dx

⇒ `(dy)/(dx) = - ((xy + y^2))/x^2`

Let y = vx

`(dy)/(dx) = v + x  (dv)/(dx)`

`v + x  (dv)/(dx) = - ((vx^2 + v^2 x^2))/x^2`

`v + x  (dv)/(dx) = - (v + v^2)`

` x  (dv)/(dx) = - 2v - v^2` 

 ⇒ `(dv)/(v^2 + 2v) = - (dx)/x`

⇒ `(dv)/(v^2 + 2v)  + (dx)/x = 0` 

⇒ ` int_  (dv)/((v + 1)^2 - (1)^2)  + int_  (dx)/x = 0`

⇒ `(1)/(2) log |[ v+ 1 -1]/[v + 1 + 1]| + log x = c`

⇒ ` log |[ v]/[ v + 2]| + 2 log x = 2c`

⇒ ` log |[ vx^2]/[ v + 2]| = 2c`

⇒ `  |[ vx^2]/[ v + 2]| = e^2c`

⇒ `  ( vx^2)/( v + 2) = ± e^2""^c = "A" ("say")`

⇒ `(yx)/(y/2 + 2) = "A"`

⇒ `x^2y = "A" (y + 2x)`

Now, when  y = 1, x = 1

⇒ 1 = A (3)

⇒ A = `(1)/(3)`

∴ `y + 2x = 3x^2y`