Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के x-अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं-
`theta ("t") = "tan"^-1(("ν"_(0"y") - "gt")/"ν"_"ox")`
Advertisements
उत्तर
माना कोई प्रक्षेप्य मूलबिन्दु से इस प्रकार फेंका जाता है कि उसके वेग के x-अक्ष तथा y-अक्षों की दिशाओं में वियोजित घटक क्रमश: Vox तथा v0y हैं।
माना t समय पश्चात् प्रक्षेप्य बिन्दु P पर पहुँचता है, जहाँ उसको स्थिति सदिश `vec"r"("t")` है।
तब `vec"r"("t") = vec"ν"_0 "t" + 1/2 vec"a" "t"^2`
= `("ν"_"ox" hat"i" + "ν"_(0"y") hat "j") "t" + 1/2 (0 hat "i" - "g" hat"j")"t"^2` [∵ ax = 0 तथा ay = -g]
वेग `vec"v" = ("d"vec"r")/"dt" = ("ν"_("ox") hat"i" + "ν"_(0"y") hat"j") + 1/2 (-"g "hat"j") xx 2"t"`
= `"ν"_("ox") hat"i" + ("ν"_(0"y") - "gt") hat"j"`
∴ t समय पर प्रक्षेप्य के अक्षों की दिशाओं में वेग क्रमशः νtx = νox तथा νty = ν0y - gt है।
∴ t समय पर वेग की दिशा द्वारा x -अक्ष से बनाया गया कोण
`theta ("t") = "tan"^-1("ν"_"y"/"ν"_"x") = "tan"^-1(("ν"_(0"y") - "gt")/"ν"_"ox")`
संबंधित प्रश्न
किसी लंबे हॉल की छत 25 m ऊँची है। वह अधिकतम क्षैतिज दूरी कितनी होगी जिसमें 40 ms-1 की चाल से फेंकी गई कोई गेंद छत से टकराए बिना गुजर जाए?
क्रिकेट का कोई खिलाड़ी किसी गेंद को 100 m की अधिकतम क्षैतिज दूरी तक फेंक सकता है। वह खिलाड़ी उसी गेंद को जमीन से ऊपर कितनी ऊँचाई तक फेंक सकता है?
कोई वायुयान पृथ्वी से 3400 m की ऊंचाई पर उड़ रहा है। यदि पृथ्वी पर किसी अवलोकन बिंदु पर वायुयान की 10.0 s की दूरी की स्थितियाँ 30° का कोण बनाती हैं तो वायुयान की चाल क्या होगी?
कोई गोली क्षैतिज से 30° के कोण पर दागी गई है और वह धरातल पर 3.0 km दूर गिरती है। इसके प्रक्षेप्य के कोण का समायोजन करके क्या 5.0 km दूर स्थित किसी लक्ष्य का भेद किया जा सकता है? गोली की नालमुखी चाल को नियत तथा वायु के प्रतिरोध को नगण्य मानिए।
कोई लड़ाकू जहाज 1.5 km की ऊंचाई पर 720 km/h की चाल से क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है और किसी वायुयान भेदी तोप के ठीक ऊपर से गुजरता है। ऊर्ध्वाधर से तोप की नाल का क्या कोण हो जिससे 600 ms-1 की चाल से दागा गया गोला वायुयान पर वार कर सके। वायुयान के चालक को किस न्यूनतम ऊंचाई पर जहाज को उड़ाना चाहिए जिससे गोली लगने से बच सके। (g = 10 ms-2)
सिद्ध कीजिए की मूलबिंदु से फेंके गए प्रक्षेप्य कोण का मान `theta _0 = "tan"^-1((4"h"_"m")/"R")` होगा। यहाँ प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ सामान्य है।
