Question

सिद्‌ध करा की: `int_a^b f(x) dx = int_a^b f(a + b - x)dx`  यावरून सोडवा

`int_0^3 sqrtx/(sqrtx + sqrt(3 - x)) dx`

Answer 1

गुणधर्माची सिद्धता:

आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की,

`int_a^b f(x) dx = int_a^b f(a + b - x)dx`

t = a + b − x ही आदेश पद्धत (substitution) वापरल्यास, dt = −dx मिळते.

सीमांमध्ये (limits) बदल केल्यास:

जेव्हा `x = a` असतो, तेव्हा `t = b` असतो.

जेव्हा `x = b` असतो, तेव्हा `t = a` असतो.

अशा प्रकारे, हे समाकलन खालीलप्रमाणे रूपांतरित होते:

`int_a^b f(x) dx = int_a^b f(a + b - t)(-dt)`

समाकलनाच्या सीमांची क्रमवारी उलट केल्यास, ऋण चिन्ह निघून जाते:

`int_a^b f(x) dx = int_a^b f(a + b - x)dx`

गुणधर्म सिद्ध झाला आहे.

दिलेल्या समाकलनाचे मूल्य काढणे:

आपल्याला खालील समाकलनाचे मूल्य काढायचे आहे:

`I = int_0^3 sqrtx/(sqrtx + sqrt(3 - x)) dx`

सिद्ध केलेल्या गुणधर्माचा वापर करून, आपण असे मानूया की:

`f(x) = sqrtx/(sqrtx + sqrt(3 - x))`

रूपांतर लागू केल्यास,

`I = int_0^3 sqrt((3 - x))/(sqrt((3 - x)) + sqrtx) dx`

आता दोन्ही समाकलनांची बेरीज केल्यास,

`I + I = int_0^3 [sqrtx/(sqrtx + sqrt(3 - x)) + sqrt(3 - x)/(sqrt(3 - x) + sqrtx)]dx`

कारण,

`sqrtx/(sqrtx + sqrt(3 - x)) + sqrt(3 - x)/(sqrt(3 - x) + sqrtx) = 1`

आपल्याला मिळते,

`2 I = int_0^3 1dx = 3`

`I = 3/2`