Question

Prove that `sqrt3  "cosec"  20^circ - sin 20^circ` = 4

Answer 1

LHS = `sqrt3  "cosec"  20^circ - sin 20^circ`

`= sqrt3 * 1/(sin 20^circ) - 1/(cos 20^circ)`

`= (sqrt3  cos 20^circ -  sin 20^circ)/(sin 20^circ  cos 20^circ)`

`= 2 [(sqrt3/2 cos 20^circ - 1/2 sin 20^circ)/(sin 20^circ  cos 20^circ)]`

`= 2 (sin 60^circ cos 20^circ - cos 60^circ  sin 20^circ)/(sin 20^circ  cos 20^circ)`

`[because sin 60^circ = sqrt3/2 and cos 60^circ = 1/2]`

`= 2 (sin (60^circ - 20^circ))/(sin 20^circ cos 20^circ)`

`= (2  sin 40^circ)/(sin 20^circ  cos 40^circ)`

`= (4  sin 40^circ)/(2  sin 20^circ  cos 20^circ)`

`= (4  sin 40^circ)/(sin 40^circ)`

[∵ 2 sin A cos A = sin 2A]

= 4 = RHS

Hence proved.