Question

PQRS एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें PQ || SR है। बिंदु U और V समलंब की असमान भुजाओं PS और QR पर क्रमशः दी गई आकृति में दिखाए गए अनुसार स्थित हैं। यदि UV || SR है तो सिद्ध कीजिए कि `(PU)/(US) = (QV)/(VR)`।

Answer 1

दिया गया:

समलंब PQRS, जिसमें PQ || SR है।

UV || SR

चूँकि PQ || SR और UV || SR हैं, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तीनों रेखाएँ समांतर हैं: PQ || UV || SR.

साध्य: `(PU)/(US) = (QV)/(VR)`

रचना:

विकर्ण PR को मिलाइए। मान लीजिए कि यह UV को बिंदु O पर काटता है।

उपपत्ति:

1. ΔPSR में:

हम जानते हैं कि UO || SR (क्योंकि UV || SR)।

मूल समानुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार:

`(PU)/(US) = (PO)/(OR)` ...(समीकरण 1)

2. ΔPRQ में:

हम जानते हैं कि OV || PQ (क्योंकि UV || PQ)।

मूल समानुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार:

`(QV)/(VR) = (PO)/(OR)`   ...(समीकरण 2)

3. समीकरण 1 और समीकरण 2 से, दोनों अनुपात `(PO)/(OR)` के बराबर हैं।

इसलिए, `(PU)/(US) = (QV)/(VR)`

अतः सिद्ध हुआ।