Question

निम्नलिखित प्रश्न में, दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए:

नाभियाँ `(0, ±sqrt10)`, हैं तथा (2, 3) से होकर जाता है।

Answer 1

नाभियाँ `(0, ±sqrt10)`

⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।

और c = `sqrt10` या c² = 10 = a² + b²

∴ a² + b² = 10     ........(i)

मान लीजिए अतिपरवलय का समीकरण

`y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1`

यह बिंदु (2, 3) से जाता है

∴ `9/a^2 - 4/b^2 = 1` या 9b² − 4a² = a²b²

समीकरण (i) में से b² का मान रखने से

= 9(10 − a²) − 4a² = a² (10 − a²)

= 90 − 9a² − 4a² = 10a² − a⁴

= a⁴ − 23a² + 90 = 0

= a⁴ - 18a² - 5a² + 90 = 0

= (a² − 18)(a² − 5) = 0 

= a² = 18 or 5

जब a² = 18, b² = 10 − a²

= 10 − 18

= −8

अतः a² ≠ 18

जब a² = 5, b² = 10 − 5 = 5

∴ अतिपरवलय का समीकरण

`y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1`

या `y^2/5 - x^2/5 = 1`