Question

किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P²Rⁿ = Sⁿ

Answer 1

मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी a + ar + ar² +….. + ar^{n – 1}

इन n पदों का गुणनफल, P = a. ar . ar²….. ar^{n – 1}

= `"a"^"n". "r"^(1 + 2 + ...... + ("n" - 1))`

= `"a"^"n""r" ("n" ("n" - 1))/2`

∴ `"P"^2 = "a"^(2"n"). "r"("n"("n" - 1))`

R = `1/"a" + 1/"ar" + 1/"ar"^2 + ....... + 1/"ar"^("n" - 1)`

= `(1/"a" [(1/"r")^"n" - 1])/1/"r" -1`

= `((1 - "r"^"n")"r")/("ar"^"n"(1 - "r"))`

∴ Rⁿ = `((1 - "r"^"n")^"n")/(("a"^"n" "r"^"n"("n" - 1))(1 - "r")^"n")`

बायाँ पक्ष: P² Rⁿ = `"a"^(2"n") "r"^("n" ("n" -1)) ((1 - "r"^"n")^"n")/(("a"^"n""r"^("n"("n" - 1))(1 - "r")^"n"))`

= `("a"^"n"(1 - "r"^"n")^"n")/((1 - "r")"n") = "S"^"n"`

जबकि S = a + ar + ar² + .... + ar^{n - 1} 

= `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")`

अतः P²Rⁿ = Sⁿ