Question

जयपुर शहर के दिए गए नक्शे को ध्यानपूर्वक देखिए, जिसमें एक कातीय तल (Cartesian plane) रखा गया है।रामबाग महल को मूलबिन्दु मानते हुये, कुछ स्थानों के निर्देशांक नीचे दिये गये हैं: बिन्दु A: (4, 2) राजस्थान उच्च न्यायालय बिन्दु B: (4, 4) बिरला मन्दिर बिन्दु C: (4, 3) हीरा बाग बिन्दु D: (−5, −2) अमर जवान ज्योति

इस आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिये:

1. वकील रेहाना हीरा बाग में रहती हैं। उन्हें प्रतिदिन घर से न्यायालय तथा वापिस घर आने में, कितनी दूरी तय करनी होती है? (1)
2. X-अक्ष पर एक चौराहा है जो AD को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करता है। अनुपात ज्ञात कीजिये। (1)
3. 1. क्या बिरला मन्दिर, हीरा बाग तथा अमर जवान ज्योति से समान दूरी पर है ? तर्क सहित उत्तर दीजिये। (2)
      अथवा
   2. विभाजन सूत्र का प्रयोग करते हुये दर्शाइये कि बिंदु A, O तथा B सरखीय नहीं हैं। (2)

Answer 1

(i) दिया गया:

A = (–4, 2)

C = (4, 3)

एक-तरफ़ा दूरी (CA):

दूरी `d_(CA) = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2`

`d_(CA) = sqrt((-4 - 4)^2 + (2 - 3)^2`

`d_(CA) = sqrt((-8)^2 + (-1)^2`

`d_(CA) = sqrt(64 + 1)`

`d_(CA) = sqrt(65)` इकाइयाँ

दैनिक कुल दूरी (आना-जाना) = `2 xx sqrt(65) = 2sqrt(65)` इकाइयाँ।

प्रतिदिन तय की गई कुल दूरी `2sqrt(65)` इकाइयाँ है।

(ii) मान लीजिए कि अनुपात k : 1 है। X-अक्ष पर स्थित बिंदु (x, 0) है।

बिंदु A (4, 2) है और बिंदु D (–5, –2) है।

Y-निर्देशांक का उपयोग करना:

`y = (my_2 + ny_1)/(m + n)`

`0 = (k(-2) + 1(2))/(k + 1)`

0 = –2k + 2

2k = 2

k = 1

Thus, the ratio is 1 : 1

(iii) (a) समदूरस्थ का अर्थ है कि बिरला मंदिर (B) से हीरा बाग (C) की दूरी, बिरला मंदिर (B) से अमर जवान ज्योति (D) की दूरी के बराबर होनी चाहिए।

B = (4, –4), C = (4, 3) और D = (–5, –2)

दूरी BC:

`BC = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2`

`BC = sqrt((4 - 4)^2 + (3 - (-4))^2`

`BC = sqrt(0^2 + 7^2)`

BC = 7 इकाइयाँ

दूरी BD:

`BD = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2`

`BD = sqrt((-5 - 4)^2 + (-2 - (-4))^2`

`BD = sqrt((-9)^2 + 2^2)`

`BD = sqrt(81 + 4)`

`BD = sqrt(85)` इकाइयाँ

Since `7 ≠ sqrt(85)`, BC ≠ BD.

नहीं, बिरला मंदिर उन दोनों स्थानों से समान दूरी पर नहीं है, क्योंकि गणना की गई दूरियाँ असमान हैं।

अथवा

(b) मान लीजिए कि O, AB को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

A = (–4, 2), O = (0, 0) और B = (4, –4)

O के X-निर्देशांक का उपयोग करते हुए:

`0 = (k(4) + 1(-4))/(k + 1)`

4k – 4 = 0

⇒ k = 1

यदि वे संरेख हैं, तो O को AB को 1 : 1 के अनुपात में विभाजित करना चाहिए।

आइए Y-निर्देशांक का उपयोग करके इस अनुपात की जाँच करें। यदि k = 1 है, तो Y-निर्देशांक होना चाहिए:

`y = (1(-4) + 1(2))/(1 + 1)`

= `(-2)/2`

= –1

लेकिन O का Y-निर्देशांक 0 है। चूँकि 0 ≠ –1 है, इसलिए बिंदु O रेखाखंड AB पर किसी एक ही संगत अनुपात में स्थित नहीं है।

चूँकि X और Y निर्देशांकों के अनुपात मेल नहीं खाते, इसलिए बिंदु A, O और B संरेख नहीं हैं।