Question

Evaluate the following:

`tan^-1(1) + cos^-1(1/2) + sin^-1(1/2)`

Answer 1

Let tan^{- 1}(1) = α, where `(-pi)/(2) < α < pi/(2)` 

∴ tan α = 1 = `tan  pi/(4)`

∴ α = `pi/(4)                     ...[∵ (-pi)/(2) < pi/(4) < pi/(2)]`

∴ tan^{– 1}(1) = `pi/(4)`                    ...(1)

Let `cos^-1(1/2)` = β, where 0 ≤ β ≤ π

∴ cos β = `1/2 = cos  (pi)/(3)`

∴ β = `pi/(3)                     ...[∵ 0 < pi/(3) < pi]`

∴ `cos^-1(1/2) = pi/(3)`              ...(2)

Let `sin^-1(1/2) = γ, "where" (-pi)/(2) ≤ γ ≤ pi/(2)`

∴ sin γ = `(1)/(2) = sin  (pi)/(6)`

∴ γ = `pi/(6)                  ...[∵ (-pi)/(2) ≤ pi/(6) ≤ pi/(2)]`

∴ `sin^-1(1/2) = pi/(6)`             ...(3)

∴ `tan^-1(1) + cos^-1(1/2) + sin^-1(1/2)`

= `pi/(4) + pi/(3) + pi/(6)`     ...[By (1), (2) and (3)]

= `(3pi + 4pi + 2pi)/(12)`

= `(9pi)/(12)`

= `(3pi)/(4)`.