Question

एक संबंध R, सभी पूर्णांकों के समुच्चय Z में इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(x, y) : |x − y| एक अभाज्य संख्या ‘p’ से भाज्य है, x, y ∈ Z} है।

जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं।

Answer 1

दिया है:

R = {(x, y): |x − y| एकअभाज्यसंख्या p से विभाज्य है}, अर्थात x − y, p से विभाज्य है।

⇒ प्रतिवर्ती:

|x − x| = 0, तथा 0, p से विभाज्य है। अतः R प्रतिवर्ती है।

⇒ सममित:

यदि |x − y|, से विभाज्य है, तो |y − x| भी p से विभाज्य होगा। अतः R सममित है।

⇒ संचारी:

यदि p | (x − y) तथा p | (y − z), तब

p | [(x − y) + (y − z)] |

p | (x − z)

अतः, R संचारी है।

इसलिए, R एक तुल्यता संबंध है।