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प्रश्न
एक बड़े पार्क में लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केंद्रित हैं (देखिए आकृति)।
A: जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं।
B: जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है।
C: जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।
एक आइसक्रीम का स्टाल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके?
(संकेत: स्टॉल को A, B और C से समान दूरी पर होना चाहिए)
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उत्तर
स्टाल A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए। इसके लिए हम बिंदुओं B और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक L और बिंदुओं A और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक m खींचते हैं।
मान लीजिए L और M परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। अब बिंदु O, बिंदुओं A, B और C से समदूरस्थ हैं। OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति: ∆BOP और ∆COP में,
OP = OP [उभयनिष्ठ]
∆OPB = ∆OPC [प्रत्येक = 90°]
[रचना से]
BP = PC [∵ P, BC का मध्य बिंदु है।
∴ ∆BOP ≅ ∆COP
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसीलिए, OB = OC सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(I)
इसी तरह, ∆AOQ ≅ ∆COQ
OA = OC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(Ii)
(I) और (Ii) से हमें प्राप्त होता है।
OA = OB = OC
हम देखते हैं कि इन बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त तीन भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O ही वह बिंदु है जहाँ पर आइसक्रीम स्टाल लगाना चाहिए।
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