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प्रश्न
एक 12 सेमी लंबी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांक्षों को स्पर्श करते हैं। छड़ के बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के संपर्क वाले सिरे से 3 सेमी दूर है।
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उत्तर
माना OX, OY निर्देशांक्ष हैं। इन अक्षों पर रेखा PQ = 12 सेमी चलती है।
∆ POQ में, PQ2 = OP2 + OQ2
122 = a2 + b2
या a2 + b2 = 144 ......(i)
जहाँ OA = a, OB = b अक्षों पर अंत:खंड हैं।
बिंदु L(x, y), PQ को 3 : 9 = 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है। जब कि P और Q के निर्देशांक क्रमशः (a, 0) और (0, b) हैं।
∴ I3,के निर्देशांक इस प्रकार होंगे
`x = (3a + 1 xx 0)/(3 + 1) = (3a)/4`
∴ a = `(4x)/3`
y = `(3 xx 0 + 1 xx b)/(3 + 1) = b/4`
∴ b = 4y
इनका मान समीकरण (i) में रखने पर,
`(4/3x)^2 + (4y)^2 = 144`
या `(16x^2)/9 + (16y^2)/1 = 144`
या `x^2/9 + y^2 /1 = 9`
अतः L का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है। जिसका समीकरण `"x"^2/81 + "y"^2/9 = 1` है।
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