Question

दर्शाइए कि प्रतिबंध arg`((z - 1)/(z + 1)) = pi/4` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या z एक वृत्त पर स्थित है।

Answer 1

टिप्पणी दि गई है कि arg`((z - 1)/(z + 1)) = pi/4`

मान लीजिए z = x + iy

यह समझो की `"arg" (z_1) - "arg" (z_2) = "arg" z_1/z_2`

⇒ arg(z – 1) – arg(z + 1) = `pi/4`

⇒ arg[x + iy – 1] – arg[x + iy + 1] = `pi/4`

यह समझो की `"arg" (x + yi) = tan^-1  y/x`

⇒ `tan^-1  y/(x - 1) - tan^-1  y/(x + 1) = pi/4`

⇒ `tan^-1  ((y/(x - 1) - y/(x + 1))/(1 + y/(x - 1) xx y/(x + 1))) = pi/4`

⇒ `(xy + y - xy + y)/(x^2 - 1 + y^2) = tan  pi/4` ....(i)

समीकरण (i) हल करें।

⇒ `(2y)/(x^2 + y^2 - 1)` = 1

⇒ x² + y²  – 1 = 2y

⇒ x²  + y²  – 2y – 1 = 0 जो वृत्त है।

z एक सर्कल पर स्थित है।