Question

दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ `(3 + 2sqrt2) : (3 - 2sqrt2)` के अनुपात में हैं।

Answer 1

मान लीजिए संख्याएँ a और b हों, तब

a और b का  गुणोत्तर माध्य = `sqrt"ab"`

दिया है:  a + b = `6sqrt"ab"`

`"a"+ "b" + 2sqrt"ab" = 8sqrt"ab"`

`(sqrt"a" + sqrt"b")^2 = 8sqrt"ab"` ........(i)

`"a" + "b" - 2 sqrt"ab" = 4sqrt"ab"`

`(sqrt"a" - sqrt"b")^2 = 4sqrt"ab"` .........(ii)

समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर,

`(sqrt"a" + sqrt"b")^2/(sqrt"a" - sqrt"b")^2 = (8sqrt"ab")/(4sqrt"ab") = 2`

या `(sqrt"a" + sqrt"b")/(sqrt"a" - sqrt"b") = sqrt2/1`

⇒ `((sqrt"a" + sqrt"b") + (sqrt"a" - sqrt"b"))/((sqrt"a" + sqrt"b") - (sqrt"a" - sqrt"b")) =(sqrt2 + 1)/(sqrt2 - 1)`

`(2sqrt"a")/(2sqrt"b") = sqrt"a"/sqrt"b" = (sqrt2 + 1)/(sqrt2 - 1)`

वर्ग करने पर, `"a"/"b" =(sqrt2 + 1)^2/(sqrt2 - 1)^2 = (3 + 2sqrt2)/(3 - 2sqrt2)`

अतः `"a"/"b" =(3 + 2sqrt2)/(3 - 2sqrt2)`