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प्रश्न
दिखाइए कि निम्नलिखित चार प्रतिबंध तुल्य हैं:
- A ⊂ B
- A – B = ϕ
- A ∪ B = B
- A ∩ B = A
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उत्तर
(i) ⇒ (ii)
A - B = {x : x ∈ A और x ∉ B}
चूँकि A ⊂ B
∴ A - B = Φ
(ii) ⇒ (iii)
A - B = Φ ⇒ A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
(iii) ⇒ (iv)
A ∪ B = B ⇒ A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
(iv) ⇒ (i)
A ∩ B = A ⇒ A ⊂ B
इस प्रकार (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv).
APPEARS IN
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दिए समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए:
A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6}
B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
A ∩ B
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
A ∩ C
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
B ∩ D
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
A ∩ (B ∪ C)
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
A ∩ D
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
A ∩ (B ∪ D)
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है}, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है} D = {x : x एक अभाज्य संख्या है}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
A ∩ B
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है}, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है}, C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : x एक अभाज्य संख्या है}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
C ∩ D
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है}, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है}, C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : x एक अभाज्य संख्या है}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
B ∩ D
बताइए कि क्या निम्नलिखित समुच्चयों के युग्म असंयुक्त हैं।
{a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
{2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
{a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
{2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
{2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
मान लीजिए A, B और C ऐसे समुच्चय हैं कि A ∪ B = A ∪ C तथा A ∩ B = A ∩ C, तो दर्शाइए कि B = C.
समुच्चय के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि A ∪ (A ∩ B) = A.
समुच्चय के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि A ∩ (A ∪ B) = A.
दिखलाइए कि A ∩ B = A ∩ C का तात्पर्य B = C आवश्यक रूप से नहीं होता हैं।
मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय X के लिए A ∩ X = B ∩ X = ϕ तथा A ∪ X = B ∪ X तो सिद्ध कीजिए कि A = B.
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