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प्रश्न
दी गई आकृति में, PA, O केन्द्र वाले वृत्त पर खींची गई ऐसी स्पर्श रेखा है कि OA = 10 cm, AB = 8 cm तथा AB ⊥ OP है। PB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
निम्नलिखित दिया है:
वृत्त की त्रिज्या (OA) = 10 सेमी
जीवा खंड (AB) = 8 सेमी
AB ⊥ OP ...[अर्थात ∠OBP = ∠PBA = 90°]
PA एक स्पर्श रेखा है ...[अर्थात ∠OAP = 90°]
चरण 1: OB की लंबाई ज्ञात करना
समकोण त्रिभुज OAB में, पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से:
OA2 = OB2 + AB2
102 = OB2 + 82
100 = OB2 + 64
OB2 = 100 − 64 = 36
OB = 6
चरण 2: PO और PB के बीच संबंध
आकृति से स्पष्ट है कि PO, PB और OB का योग है।
PO = PB + OB
= PB + 6
चरण 3: समकोण त्रिभुज PAO में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग
चूँकि स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है, इसलिए ΔPAO एक समकोण त्रिभुज है:
PO2 = PA2 + OA2
(PB + 6)2 = PA2 + 102 ...[1]
चरण 4: समकोण त्रिभुज PAB में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग
चूँकि AB ⊥ OP है, इसलिए ΔPAB भी एक समकोण त्रिभुज है।
PA2 = PB2 + AB2
PA2 = PB2 + 82 = PB2 + 64 ...[2]
चरण 5: PB का मान ज्ञात करना
समीकरण (2) से PA2 का मान समीकरण (1) में रखने पर
(PB + 6)2 = (PB2 + 64) + 100
(PB + 6)2 = PB2 + 164
बाएँ पक्ष का विस्तार ((a + b)2 = a2 + 2ab + b2) करने पर
PB2 + 12PB + 36 = PB2 + 164
दोनों पक्षों से PB2 को हटाने पर
12PB + 36 = 164
12PB = 164 − 36
12PB = 128
PB = `128/12 = 32/3 ≈ 10.67`
