Question

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।

मान लीजिए कि z₁ और z₂ दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| तब arg(z₁ – z₂) = 0

पर्याय

• सत्य

• असत्य

Answer 1

यह कथन सत्य है।

स्पष्टीकरण:

देखो z₁ = x₁ + y₁i और z₂ = x₂ + y₂i

⇒ |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂|

⇒ |x₁ + y₁i + x₂ + y₂i| = |x₁ + y₁i| + |x₂ + y₂i|

⇒ |(x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i| = |(x₁ + y₁i)| + |(x₂ + y₂i)|

⇒ `sqrt((x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2) = sqrt(x_1^2 + y_1^2) + sqrt(x_2^2 + y_2^2)`

दोनों तरफ वर्ग करे।

⇒ `(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 = x_1^2 + y_1^2 + 2sqrt((x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2))`

⇒ `2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 2sqrt(x_1^2x_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 + y_1^2y_2^2)`

⇒ `x_1x_2 + y_1y_2 = sqrt(x_1^2x_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 + y_1^2y_2^2)`

फिरसे दोनों तरफ वर्ग करे।

⇒ `x_1^2x_2^2 + y_1^2y_2^2 + 2x_1y_1x_2y_2 = x_1^2x_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 + y_1^2y_2^2`

⇒ `2x_1y_1x_2y_2 = x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2`

⇒ `x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 - 2x_1y_1x_2y_2` = 0

⇒ `(x_1y_2 - x_2y_2)^2` = 0

⇒ `x_1y_2 - x_2y_1` = 0

आगे हल करें।

⇒ `x_1y_2 = x_2y_1`

⇒ `x_1/y_1 = x_2/y_2`

⇒ `y_1/x_1 = y_2/x_2`

⇒ arg(z₁) = arg(z₂)

इसलिए, arg(z₁) – arg(z₂) = 0

इसलिए, कथन मान लीजिए कि z₁ और z₂ दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| तब arg(z₁ – z₂) = 0 यह सही है।