Question

बिंदु (2, 3) से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक रेखा की ढाल 2 है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer 1

यह दिया गया है कि पहली रेखा की ढाल, m₁ = 2 है।

माना कि दूसरी रेखा की ढाल m₂ है।

दोनों रेखाओं के बीच का कोण 60° है।

∴ tan 60° = `("m"_1 -"m"_2)/(1 + "m"_1"m"_2)`

= `sqrt3 = |(2 - m_2)/(1 + m_1m_2)|`

= `sqrt3 = ±((2 - m_2)/(1 + 2m_2))`

=  `sqrt3 = |(2 - m_2)/(1 + m_2)|` =  `sqrt3 = - ((2 - m_2)/(1 + m_2))`

= `sqrt3 (1 + 2m_2) = 2 - m_2` या `sqrt3 (1 + 2m_2) = (2 - m_2)`

= `sqrt3 + 2 sqrt3m_2 + m_2 = 2` या `sqrt3 + 2sqrt3m_2 - m_2 = -2`

= `sqrt3 + (2 sqrt3 + 1) m_2` या `sqrt3 + (2 sqrt3 - 1) = -2`

= ∴ m₂ = `- (2 - sqrt3)/(2 sqrt3 + 1)` या ∴ m₂ = `(-2 + sqrt3)/(2 sqrt3 - 1)`

स्थिति I: m₂ = `- ((2 - sqrt3)/(2 sqrt3 + 1))`

बिंदु (2, 3) से जाने वाली और `(2 - sqrt3)/(2sqrt3 + 1)` की ढाल वाली रेखा का समीकरण है

= `(y - 3) = (2 - sqrt3)/(2 sqrt 3 + 1) (x - 2)`

= `(2 sqrt3 + 1) y - 3 (2 sqrt3 + 1)` = `(2 - sqrt3) x - 2 (2 - sqrt3)`

= `(sqrt(3) - 2)x + (2 sqrt3 + 1)y` = `-4 + 2 sqrt3 + 6 sqrt3 + 3`

= `(sqrt(3) - 2)x + (2 sqrt3 + 1)y` = `-1 + 8 sqrt3`

स्थिति II:  m₂ = `(-2 + sqrt3)/(2 sqrt3 - 1)`

बिंदु (2, 3) से जाने वाली और `-(2 + sqrt3)/(2sqrt3 + 1)` की ढाल वाली रेखा का समीकरण है

= `(y - 3) = (-2 + sqrt3)/(2 sqrt 3 - 1) (x - 2)`

= `(2 sqrt3 - 1) y - 3 (2 sqrt3 - 1)` = `(2 + sqrt3) x + 2 (2 + sqrt3)`

= `(2sqrt(3) - 1)y + (2 + sqrt3)x` = `4 + 2 sqrt3 + 6 sqrt3 - 3`

= `(2 + sqrt(3))x + (2 sqrt3 - 1)y` = `1 + 8 sqrt3`

इस स्थिति में, दूसरी रेखा का समीकरण `(2 + sqrt(3))x + (2 sqrt3 - 1)y` = `1 + 8 sqrt3` है।