Question

अभिकथन (A): रैखिक समीकरण युग्म 3x − 5y +7 = 0 तथा 6x + 10y + 14 = 0 असंगत है।

तर्क (R): जब दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल नहीं होता, वे हमेशा समांतर रेखायें निरूपित करती है।

पर्याय

• अभिकथन (A) तथा तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R) अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।

• अभिकथन (A) तथा तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R) अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।

• अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।

• अभिकथन (A) गलत है जबकि तर्क (R) सही है।

Answer 1

अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।

स्पष्टीकरण:

अभिकथन (A) का मूल्यांकन करें:

रैखिक समीकरणों की कोई प्रणाली असंगत कहलाती है, यदि उसका कोई हल न हो। ऐसा तब होता है, जब रेखाएँ समानांतर होती हैं।

समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए, कोई हल न होने की शर्त है:

`(a_1)/(a_2) = (b_1)/(b_2) ≠ (c_1)/(c_2)`

समीकरण 1: 3x – 5y + 7 = 0

⇒ a₁ = 3, b₁ = –5, c₁ = 7

समीकरण 2: –6x + 10y + 14 = 0

⇒ a₂ = –6, b₂ = 10, c₂ = 14

अनुपातों की जाँच करें:

`(a_1)/(a_2) = 3/(-6) = - 1/2`

`(b_1)/(b_2) = (-5)/10 = - 1/2`

`(c_1)/(c_2) = 7/14 = 1/2`

चूँकि `(a_1)/(a_2) = (b_1)/(b_2) ≠ (c_1)/(c_2) (-1/2 = - 1/2 ≠ 1/2)`, इसलिए इस निकाय का कोई हल नहीं है।

अतः, यह प्रणाली असंगत है।

अभिकथन (A) सत्य है।

तर्क (R) का मूल्यांकन:

एक प्रणाली का “कोई अद्वितीय समाधान नहीं होता” जब उसका कोई समाधान नहीं होता (समानांतर रेखाएं) या अनंत रूप से कई समाधान होते हैं (संयोग रेखाएं)।

इसलिए, यह कहना गलत है कि यह हमेशा समानांतर रेखाओं को दर्शाता है।

तर्क (R) असत्य है।