Question

`(a^2 + sqrt(a^2 - 1))^4 + (a^2 - sqrt(a^2 -1))^4`  का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

सबसे पहले, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक (x + y)⁴ + (x – y)⁴ को सरल बनाया गया है।

(x + y)⁴ = ⁴C₀x⁴ + ⁴C₁x³y + ⁴C₂x²y² + ⁴C₃xy³ + ⁴C₄y⁴

= x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

(x - y)⁴ = ⁴C₀x⁴ - ⁴C₁x³y + ⁴C₂ x²y² - 4C₃xy³ + ⁴C₄y⁴

= x⁴ - 4x³y + 6x²y² - 4xy³ + y⁴

∴ (x + y)⁴ + (x - y)⁴ = 2(x⁴ + 6x² y² + y⁴)

x = a² और y = `sqrt(a^2 - 1)` रखने पर, हमें प्राप्त होता है

`a^2  + sqrt((a^2 - 1)^4)  +  a^2  - sqrt((a^2 - 1)^4)  = 2[(a^2)^4   + 6 (a^2)^2  sqrt((a^2 - 1)^2)  + sqrt(a^2  - 1)^4]`

= `2[a^8  + 6a^4  (a^2 - 1)  + (a^2  - 1)^2]`

= `2[a^8  +  6a^6  - 6a^4  + a^4  - 2a^2  + 1]`

= `2[a^8  + 6a^6 - 5a^4  - 2a^2 + 1]`

= `2a^8  + 12a^6 - 10a^4 - 4a^2  + 2`