Advertisements
Advertisements
प्रश्न
समभुज चौकोनाच्या बाजूंच्या वर्गांची बेरीज त्याच्या कर्णाच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
पक्ष: `square`PQRS हा समभुज चौकोन असून कर्ण PR आणि SQ एकमेकांना T या बिंदूत छेदतात.
साध्य: PS2 + SR2 + QR2 + PQ2 = PR2 + QS2
कृती:
समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.
ΔPQS मध्ये रेख PT ही मध्यगा आणि ΔQRS मध्ये रेख RT ही मध्यगा आहे.
∴ अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार
PQ2 + PS2 = `square` + 2QT2 ...(I)
QR2 + SR2 = `square` + 2QT2 ...(II)
(I) व (II) यांची बेरीज करू
PQ2 + PS2 + QR2 + SR2 = 2(PT2 + `square`) + 4QT2
= 2(PT2 + `square`) + 4QT2 ...(RT = PT)
= 4PT2 + 4QT2
= (`square`)2 + (2QT)2
∴ PQ2 + PS2 + QR2 + SR2 = PR2 + `square`
Advertisements
उत्तर
पक्ष: `square`PQRS हा समभुज चौकोन असून कर्ण PR आणि SQ एकमेकांना T या बिंदूत छेदतात.
साध्य: PS2 + SR2 + QR2 + PQ2 = PR2 + QS2
कृती:
समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.
ΔPQS मध्ये रेख PT ही मध्यगा आणि ΔQRS मध्ये रेख RT ही मध्यगा आहे.
∴ अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार
PQ2 + PS2 = \[\boxed{2\text{PT}^2}\] + 2QT2 ...(I)
QR2 + SR2 = \[\boxed{2\text{RT}^2}\] + 2QT2 ...(II)
(I) व (II) यांची बेरीज करू,
PQ2 + PS2 + QR2 + SR2 = \[{2(\text{PT}^2 + \boxed{\text{RT}^2})}\] + 4QT2
= \[{2(\text{PT}^2 + \boxed{\text{PT}^2})}\] + 4QT2 ...(RT = PT)
= 4PT2 + 4QT2
= \[\boxed{(2\text{PT)}^2}\] + (2QT)2
∴ PQ2 + PS2 + QR2 + SR2 = PR2 + \[\boxed{\text{QS}^2}\]
