Question

Simplify :
`[(x^2 - y^2)^3 + (y^2 - z^2)^3 + (z^2 - x^2)^3]/[(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3]`

Answer 1

`[(x^2 - y^2)^3 + (y^2 - z^2)^3 + (z^2 - x^2)^3]/[(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3]`

If a + b + c = 0, then a³ + b³ + c³ = 3abc
Now, x² - y² + y² - z² + z² - x² = 0

⇒  ( x² - y² )³ + ( y² - z² )³ + ( z² - x² )³ = 3( x² - y² )( y² - z² )( z² -x² )                                         ......(1)

And, x - y + y - z + z - x = 0

⇒  ( x - y )³ + ( y - z )³ + ( z - x )³ = 3( x - y )( y - z )( z -x )                                                          ........(2)
Now,
`[(x^2 - y^2)^3 + (y^2 - z^2)^3 + (z^2 - x^2)^3]/[(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3]`

= `[3( x^2 - y^2 )( y^2 - z^2 )( z^2 -x^2 )]/[3( x - y )( y - z )( z - x )]`                            .....[From (1) and (2)] 

= ( x + y )( y + z )( z + x )