Question

Prove that:

`(cos^3A + sin^3A)/(cosA + sinA) + (cos^3A - sin^3A)/(cosA - sinA) = 2`

Answer 1

L.H.S. = `(cos^3A + sin^3A)/(cosA + sinA) + (cos^3A - sin^3A)/(cosA - sinA)`

= `((cos^3A + sin^3A)(cosA - sinA) + (cos^3A - sin^3A)(cosA + sinA))/(cos^2A - sin^2A)`

= `(cos^4A - cos^3AsinA + sin^3AcosA - sin^4A + cos^4A + cos^3AsinA - sin^3AcosA - sin^4A)/(cos^2A - sin^2A)`

= `(2(cos^4A - sin^4A))/(cos^2A - sin^2A)`

= `(2(cos^2A + sin^2A)2(cos^2A - sin^2A))/(cos^2A - sin^2A)`

 = 2(cos² A + sin² A)

= 2

= R.H.S.      ...(∵ cos² A + sin² A = 1)

Answer 2

L.H.S. = `(cos^3A + sin^3A)/(cosA + sinA) + (cos^3A - sin^3A)/(cosA - sinA)`

We apply algebraic identities for the sum and difference of cubes:

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

= `((cosA + sinA)(cos^2A - cosA sinA + sin^2A))/((cosA + sinA)) +((cosA - sinA)(cos^2A + cosA sinA + sin^2A))/((cosA - sinA))`

= `(cancel((cosA + sinA))(cos^2A - cosA sinA + sin^2A))/(cancel((cosA + sinA))) +(cancel((cosA - sinA))(cos^2A + cosA sinA + sin^2A))/(cancel((cosA - sinA)))`

= (cos²A − cosA sinA + sin²A) + (cos²A + cosA sinA + sin²A)

= (1 − cosA sinA ) + (1 + cosA sinA)   ...(∵ sin²A + cos²A = 1)

= (1 − cosA sinA  + 1 + cosA sinA)

= `(1 − cancel(cosA sinA)  + 1 + cancel(cosA sinA))`

= 1 + 1

= 2 = R.H.S.