Question

Let `A= [[1,-1,0],[2,1,3],[1,2,1]]` And `B=[[1,2,3],[2,1,3],[0,1,1]]` Find `A^T,B^T` and verify that   (A + B)^T = A^T + B^T

Answer 1

\[Given: A = \begin{bmatrix}1 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1\end{bmatrix} \text{and B }= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\] 

`A^T = [[1    2    1],[-1    1    2 ],[0     3   1]]`  and `B^T = [[1     2      0],[2      1     1 ],[3    3     1]]` 

\[\left( i \right) \] 

\[A + B = \begin{bmatrix}1 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \] 

\[ \Rightarrow A + B = \begin{bmatrix}1 + 1 & - 1 + 2 & 0 + 3 \\ 2 + 2 & 1 + 1 & 3 + 3 \\ 1 + 0 & 2 + 1 & 1 + 1\end{bmatrix}\] 

\[ \Rightarrow A + B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & 3 & 2\end{bmatrix}\] 

\[ \Rightarrow \left( A + B \right)^T = \begin{bmatrix}2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 2\end{bmatrix} . . . \left( 1 \right)\] 
\[Now, \] 

\[ A^T + B^T = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1\end{bmatrix}\] \[ \Rightarrow A^T + B^T = \begin{bmatrix}1 + 1 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 2 & 1 + 1 & 2 + 1 \\ 0 + 3 & 3 + 3 & 1 + 1\end{bmatrix}\] 

\[ \Rightarrow A^T + B^T = \begin{bmatrix}2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 2\end{bmatrix} . . . \left( 2 \right)\] 
\[ \Rightarrow \left( A + B \right)^T = A^T + B^T \left[ \text{From eqs} . \left( 1 \right) and \left( 2 \right) \right]\]