Question

कैरम बोर्ड एक लोकप्रिय खेल है। बोर्ड वर्गाकार है जिसकी भुजा की लम्बाई 65 cm है। इसके प्रत्येक कोने में एक वृत्ताकार छंद है। अंज बिन्दु P पर रखी गोटी पर स्ट्राइकर से निशाना लगाता है। गोटी बोर्ड की B दीवार से टकराती हुई सीधे कोने C पर बने छेद मेंगिर जाती है। दिया गया है कि PS = 9 cm, PQ = 35 cm, BR = x, ∠PRQ = α तथा ∠CRB = θ है।

उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. परावर्तन के नियम (i.e., ∠PRT = ∠CRT) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि θ = α। (1)
2. सिद्ध कीजिए कि ΔPQR ∼ ΔCBR है जहाँ PQ, भुजा AB पर लम्ब है। (1)
3. 1. त्रिभुजों की समपता का प्रयोग करते हुये x का मान ज्ञात कीजिए। (2)
      अथवा
   2. यदि `(ΔPQR "का क्षेत्रफल")/(ΔCBR "का क्षेत्रफल") = (PQ^2)/(CB^2)` है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (2)

Answer 1

(i) आरेख में, मान लीजिए कि रेखा RT, बिंदु R पर सीमा AB पर अभिलंब है।

परावर्तन के नियम के अनुसार: ∠PRT = ∠CRT

रेखा RT कैरम बोर्ड की भुजा पर लंब है, इसलिए ∠QRT = ∠BRT = 90°।

अब, ∠PRQ = α = 90° – ∠PRT

और ∠CRB = θ = 90° – ∠CRT

चूँकि ∠PRT = ∠CRT है, इसलिए उनके पूरक भी बराबर होने चाहिए:

90° – ∠PRT = 90° – ∠CRT

α = θ

इसलिए, θ = α.

(ii) ΔPQR और ΔCBR में

∠PQR = ∠CBR = 90° (दिया गया है कि PQ ⊥ AB और वर्गाकार कैरम बोर्ड का कोना 90° का होता है)।

∠PRQ = ∠CRB (भाग (i) में सिद्ध किया गया, क्योंकि α = θ है)।

अतः, AA समरूपता कसौटी के अनुसार: दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि उनके दो संगत कोण बराबर हों।

ΔPQR ∼ ΔCBR

अतः सिद्ध हुआ।

(iii) (a) वर्गाकार बोर्ड की भुजा = 65 cm. अतः, CB = 65.

दिया गया है: PQ = 35

आरेख से S, AD पर स्थित है और PQ AB पर लंब है। PS = 9 cm, कोने A से Q की दूरी को दर्शाता है।

इसलिए, AQ = 9

चूँकि AB = 65 है, इसलिए QB की लंबाई = 65 – 9 = 56 है।

हमें दिया गया है कि BR = x है। चूँकि R, रेखाखंड QB पर स्थित है, इसलिए QR = QB – BR = 56 – x होगा।

ΔPQR ∼ ΔCBR से

`(PQ)/(CB) = (QR)/(BR)`

`35/65 = (56 - x)/x`

`7/13 = (56 - x)/x`

7x = 13(56 – x)

7x = 728 – 13x

20x = 728

`x = 728/20`

x = 36.4 cm

अथवा

(b) ΔPQR ∼ ΔCBR

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

`(PQ)/(CB) = (QR)/(BR)`

`35/65 = (56 - x)/x`

⇒ x = 36.4 cm

x का मान 36.4 cm है।