Question

If (2x + 1) is a factor of 2x³ − 9x² + kx + 6, find the value of k. Hence, factorise it completely.

Answer 1

Let = f(x) = 2x³ − 9x² + kx + 6

Let 2x + 1 = 0

x = `-1/2`

∵ 2x + 1 is a factor of f(x).

∴ `f(-1/2)` = 0

⇒ `2(-1/2)^3 - 9(-1/2)^2 + k(-1/2) + 6` = 0

⇒ `2(-1/8)^3 - 9(-1/4)^2 + k(-1/2) + 6` = 0

⇒ `-1/4 - 9/4 - k/2 + 6` = 0

⇒ `-10/4 - k/2 + 6` = 0

⇒ `-5/2 - k/2 + 12/2` = 0

⇒ 7 − k = 0

⇒ k = 7

∴ 2x³ − 9x² + 7x + 6

               x² − 5x + 6
`2x + 1")"overline(2x^3 - 9x^2 + 7x + 6)`
              2x³ + x²
            −      −                          
                    − 10x² + 7x
                    − 10x² − 5x
                    +         +               
                                  12x + 6
                                  12x + 6
                                −       −     
                                      x         

2x³ − 9x² + 7x + 6 = (2x + 1) ( x² − 5x + 6)

= (2x + 1) (x² − 3x − 2x + 6)

= (2x + 1) [x(x − 3) − 2(x − 3)]

= (2x + 1) (x − 3) (x − 2)