Question

If 2 tan^–1(cos θ) = tan^–1(2 cosec θ), then show that θ = π 4, where n is any integer.

Answer 1

2 tan^–1(cos θ) = tan^–1(2 cosec θ)

⇒ `tan^-1 ((2costheta)/(1 - cos^2 theta)) = tan^-1(2 "cosec"  theta)`  ......`[because 2tan^-1x = tan^-1  (2x)/(1 - x^2)]`

⇒ `(2costheta)/(1 - cos^2theta)` = 2 cosec θ

⇒ `(2costheta)/(sin^2theta) = 2/sintheta`

⇒ cos θ sin θ = sin²θ

⇒ cos θ sin θ – sin²θ = 0

⇒ sin θ(cos θ – sin θ) = 0

⇒ sin θ = 0 or cos θ – sin θ = 0

⇒ sin θ = 0 or 1 – tan θ = 0

⇒ θ = 0 or tan θ = 1

⇒ θ = 0° or θ = `pi/4`

Hence proved.