Question

Given that `x - sqrt(5)` is a factor of the cubic polynomial `x^3 - 3sqrt(5)x^2 + 13x - 3sqrt(5)`, find all the zeroes of the polynomial.

Answer 1

Let p(x) = `x^3 - 3sqrt(5)x^2 + 13x - 3sqrt(5)`

Using division algorithm,

                    `x^2 - 2sqrt(5)x + 3`
`(x - sqrt(5))")"overline(x^3 - 3sqrt(5)x^2 + 13x - 3sqrt(5)`
                  `x^3 - sqrt(5)x^2`
                 (–)   (+)                                    
                       `-2sqrt(5)x^2 + 13x - 3sqrt(5)`
                       `-2sqrt(5)x^2 + 10x`
                       (+)           (–)                     
                                        `3x - 3sqrt(5)`
                                        `3x - 3sqrt(5)`
                                         (–)   (+)        
                                              0             

∴ `x^3 - 3sqrt(5)x^2 + 13x - 3sqrt(5)`

= `(x^2 - 2sqrt(5)x + 3)(x - sqrt(5))`

= `(x - sqrt(5))[x^2 - {(sqrt(5) + sqrt(2)) + (sqrt(5) - sqrt(2))x + 3]`

= `(x - sqrt(5))[x^2 - (sqrt(5) + sqrt(2))x - (sqrt(5) - sqrt(2))x + (sqrt(5) + sqrt(2))(sqrt(5) - sqrt(2))]`

= `(x - sqrt(5)){x - (sqrt(5) + sqrt(2))){x - (sqrt(5) - sqrt(2))}`

So, all the zeroes of the given polynomial are`sqrt(5), (sqrt(5) + sqrt(2)) and (sqrt(5) - sqrt(2))`.