Question

एक उलटे शंकु के आकार की रूम फ्रेशनर बोतल नियमित अंतरालों में स्प्रे करती है, जिससे बोतल में परफ्यूम के आयतन के घटने की दर 1 mm³/min. है। यदि शंक्वाकार बोतल का सेमी वर्टिकल कोण `π/6` है तो बोतल में परफ्यूम के तल के घटने की दर ज्ञात कीजिए, जब बोतल में परफ्यूम का लेवल 10 mm हो।

Answer 1

शंकु के लिए अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण = `π/6`

`tan (π/6) = r/h`

`1/sqrt3 = r/h`

∴ `r = h/sqrt3`

इत्र का आयतन:

`V = 1/3πr^2h`

`r = h/sqrt3` रखने पर:

`V = 1/3π(h/sqrt3)^2h`

`V = 1/3π * h^2/3 * h`

`V = (πh^3)/9`

t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

`(dV)/(dt) = π/9 * 3h^2(dh)/(dt)`

`(dV)/(dt) = (πh^2)/3 (dh)/(dt)`

दिया है:

`(dV)/(dt)` = −1mm³/min, h = 10mm

`-1 = (π(10)^2)/(3) (dh)/(dt)`

`-1 = (100π)/3 (dh)/(dt)`

`(dh)/(dt) = -3/(100π)`

अतः, इत्र के स्तर के घटने की दर:

`3/(100π)` mm/min