Question

दर्शाइए कि चतुर्भुज ‘PLOT’, जिसके शीर्ष P(1, 1), L (−5, 1), (5, 4) और T(1, 4) हैं, एक आयत है। क्या यह एक वर्ग भी है? औचित्य सिद्ध कीजिए।

Answer 1

P. T. के लिए PLOT एक आयत है।

= PL = `sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)`

= `sqrt((1 - (-5))^2 + (1 - 1)^2)`

= `sqrt((1 + 5)^2 + 0)`

= `sqrt(6^2)`

= `sqrt36`

PL = 6

OL = `sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)`

= `sqrt((-5 - (-5))^2 + (4 - 1)^2)`

= `sqrt((-5 + 5)^2 + (3)^2)`

 = `sqrt(3^2)`

= `sqrt9`

OL = 3

OT = `sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)`

= `sqrt((1 - (-5))^2 + (4 - 4)^2)`

= `sqrt((1 + 5)^2 + 0^2)`

= `sqrt(6^2)`

= `sqrt36`

OT = 6

TP = `sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)`

= `sqrt((1 - 1)^2 + (1 - 4)^2)`

= `sqrt(0 + (-3)^2)`

= `sqrt9`

TP = 3

∴ PL = OT = 6

OL = TP = 3

∴ विपरीत भुजाएँ समान हैं।    ...(i)

अब, विकर्ण PO = `sqrt((1 - (-5))^2 + (1 - 4)^2)`

= `sqrt((1 + 5)^2 + (-3)^2)`

= `sqrt(6^2 + 9)`

= `sqrt(36 + 9)`

PO = `sqrt45`

विकर्ण LT = `sqrt((-5 - 1)^2 + (1 - 4)^2)`

= `sqrt((-6)^2 + (-3)^2)`

∠T = `sqrt(36 + 9)`

∠T = `sqrt45`

∴ PO = ∠T = `sqrt45`

∴ विकर्ण समान हैं।    ...(ii)

∴ समीकरण (i) and (ii) से,

PLOT एक आयत है।

= PLOT वर्ग नहीं है क्योंकि आसन्न भुजाएँ समान नहीं हैं।

PL ≠ OL

∴ यह वर्ग नहीं है।