Question

Differentiate the function with respect to x:

`cot^(-1) [(sqrt(1+sinx) + sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx) - sqrt(1-sinx))], 0 < x < pi/2`

Answer 1

Let, y = `cot^-1[(sqrt(1 + sin x) + sqrt(1 - sin x))/(sqrt(1 + sin x) - sqrt(1 - sin x))]`

Now, 1 + sin x = `sin^2  x/2 + cos^2  x/2 + 2 sin  x/2 cos  x/2`

= `(cos  x/2 + sin  x/2)`

∴ `sqrt(1 + sin x) = cos  x/2 + sin  x/2`

Similarly,

`sqrt(1 + sin x) = cos  x/2 + sin  x/2`

y = `cot^-1 [((cos  x/2 + sin  x/2) + (cos  x/2 - sin  x/2))/((cos  x/2 + sin  x/2) - (cos  x/2 + sin  x/2))]`

= `cot^-1 [(cos  x/2 + sin  x/2 + cos  x/2 - sin  x/2)/(cos  x/2 + sin  x/2 - cos  x/2 + sin  x/2)]`

= `cot^-1 [(2 cos  x/2)/(2  sin  x/2)]`

= `cot^-1 (cot  x/2)`

y = `x/2`

On differentiating with respect to x,

`dy/dx = 1/2 * d/dx (x)`

= `1/2`