NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] chapter 9 - अवकल समीकरण [Latest edition]

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`("d"^4 "y")/("dx"^4) + "sin"("y'''") = 0`

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

y' + 5y = 0

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`("ds"/"dt")^4 + 3"s"  ("d"^2 "s")/"dt"^2 = 0`

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`(("d"^2 "y")/"dx"^2)^2 + "cos" ("dy"/"dx") = 0`

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`(d^2 y)/dx^2 = cos 3x + sin 3x`

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`(y "'''")^2 + (y "''")^3 + (y"'")^4 + y^5 = 0`

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`y"'''"+ 2y"''" + y"'" = 0`

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

y' + y = e^x

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

y'' + (y')² + 2y = 0

प्रश्न में अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

y'' + 2y' + sin y = 0

अवकल समीकरण `(("d"^2"y")/"dx"^2)^3 + ("dy"/"dx")^2 + sin ("dy"/"dx") + 1 = 0` की घात है:

अवकल समीकरण `2"x"^2  ("d"^2"y")/"dx"^2 . 3  "dy"/"dx" + "y" = 0` की कोटि है:

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

y = e^x + 1 : y'' - y' = 0

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

y = x² + 2x + C: y’ - 2x - 2 = 0

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

y = cos x + C: y’ + sin x = 0

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

`"y" = sqrt(1 + "x"^2)` : y' `"xy"/(1 + "x"^2)`

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

y = Ax : xy’ = y (x ≠ 0)

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

y = x sin x : xy’ = y + x `sqrt("x"^2 - "y"^2)` (x `ne` 0 और x > y अथवा x < - y)

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

xy = logy + C : y’ `= "y"^2/(1 - "xy")  ("xy" ne 1)`

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

y - cos y = x : (y sin y + cos y + x) y’ = y

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

x + y = tan^-1y : y² y’ + y² + 1 = 0

प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है:

y = `sqrt("a"^2 - "x"^2)   "x" in (-"a", "a") : "x + y"  "dy"/"dx" = 0  ("y" ne 0)`

चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है: 

तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:

नीचे दिए गए प्रश्न में स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

`"x"/"a" + "y"/"b" = 1`

नीचे दिए गए प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

y² = a (b² - x²)

नीचे दिए गए प्रश्न में स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

y = ae^3x + be^-2x

नीचे दिए गए प्रश्न में स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

y = e^2x (a + bx)

नीचे दिए गए प्रश्न में स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

y = e^x (a cos x + b sin x)

y - अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिंदु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y - अक्ष की दिशा में है।

ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y - अक्ष पर हैं तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।

ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।

ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केंद्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।

निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y = c₁ e^x + c₂ e^-x  है?

निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है?

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

`"dy"/"dx" = (1 - "cos x")/(1 + "cos  x")`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

`"dy"/"dx" sqrt(4 - "y"^2)` (-2 < y < 2)

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

`"dy"/"dx" + "y" = 1 ("y" ne 1)`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

(e^x + e^-x) dy - (e^x - e^-x) dx = 0

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

`"dy"/"dx"` = (1 + x²) (1 + y²)

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

y log y dx - x dy = 0

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

`"x"^5  "dy"/"dx" = - "y"^5`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

`dy/dx = sin^-1 x`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

e^x tan y dx + (1 - e^x) sec² y dy = 0

निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`(x^3 + x^2 + x + 1) dy/dx = 2x^2 + x`; y = 1 यदि x = 0

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`x (x^2 - 1) dy/dx = 1` ; y = 0 यदि x = 2

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`cos ("dy"/"dx") = "a" ("a" in "R")`: y = 1 यदि x = 0

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`"dy"/"dx"` = y tan x ; y = 1 यदि x = 0

बिंदु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = e^x sin x है।

अवकल समीकरण xy `"dy"/"dx"` = (x + 2)(y + 2) के लिए बिंदु (1, -1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।

बिंदु (0, -2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिंदु के ए निर्देशांक का गुणनफल उस बिंदु के x निर्देशांक के बराबर है।

एक वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिंदु को, बिंदु (-4, -3) से मिलाने वाले रेखाखंड प्रवणता की दुगनी है। यदि यह वक्र बिंदु (-2, 1)से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकंड बाद 6 इकाई है, तो t सेकंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r % वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दुगने हो जाते हैं, तो r का मान ज्ञात कीजिए। (log_e 2 = 0.6931).

किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में 1000 रुपये जमा कराये जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? (e^0.5 = 1.648)

किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटो में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटो में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी। यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनमें उपस्थित संख्या के समानुपाती है।

अवकल समीकरण `"dy"/"dx"` = e^x+y का व्यापक हल है:

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

(x² + xy) dy = (x² + y²) dx

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

y' `= ("x + y")/"x"`

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

(x - y) dy -(x + y) dx = 0

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

(x² - y²) dx + 2xy dy = 0

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`x^2  dy/dx = x^2 - 2y^2 + xy`

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

x  dy - y  dx = `sqrt(x^2 + y^2)`  dx

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`{x cos (y/x) + y sin (y/x)} y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)} x dy`

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`x dy/dx - y + x sin (y/x) = 0`

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`"y dx" + "x" log("y"/"x")"dy" - 2"x" "dy" = 0`

निम्नलिखित प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:

`(1 + "e"^(x/y))"dx" + "e"^(x/y)(1 - x/y) "dy" = 0`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1; यदि x = 1

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

x²dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`[x sin^2 (y/x) - y]"dx" + x "dy" = 0; "y" = pi/4` यदि x = 1

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`"dy"/"dx" - y/x + cosec (y/x) = 0;` y = 0 यदि x = 1

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`2x"y" + "y"^2 - 2x^2 "dy"/"dx" = 0`; y = 2 यदि x = 1

`"dx"/"dy" = "h"(x/y)` के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है-

निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है?

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`"dy"/"dx" + 2"y"` = sin x

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`"dy"/"dx" + 3"y" = "e"^(- 2x)`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`"dy"/"dx" + "y"/x + x^2`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`"dy"/"dx" + (sec x)y = tan x (0 <= x <= pi/2)`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`cos^2 x "dy"/"dx" + "y" = tan x (0 <= x < pi/2)`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`x"dy"/"dx" + "2y" = x^2` log x

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`x log x "dy"/"dx" + "y" = 2/x log x`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

(1 + x²)dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`x "dy"/"dx" + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`(x + y) "dy"/"dx" = 1`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

y dx + (x – y²)dy = 0

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

`(x + 3"y"^2) "dy"/"dx" = "y", ("y" > 0)`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-

`"dy"/"dx" + 2 " y" tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-

`(1 + x^2) "dy"/"dx" + 2x"y" = 1/(1 + x^2); "y" = 0` यदि x = 1

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-

`"dy"/"dx" - 3 "y" cot x = sin 2x; y = 2` यदि x = `pi/2`

मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।

बिंदु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।

अवकल समीकरण x`"dy"/"dx" - "y" = 2x^2` का समाकलन गुणक है-

अवकल समीकरण (1 – y²)`"dy"/"dx" + "yx" = "ay" (- 1 < "y" < 1)` का समाकलन गुणक है-

निम्नलिखित अवकल समीकरण में से कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`("d"^2"y")/"dx"^2 + 5x("dy"/"dx")^2 - 6"y" = log x`

निम्नलिखित अवकल समीकरण में से कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`("dy"/"dx")^3 - 4("dy"/"dx")^2 + "7y"` = sin x

निम्नलिखित अवकल समीकरण में से कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

`("d"^4"y")/"dx"^4 - sin (("d"^3"y")/"dx"^3) = 0`

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

xy = a e^x + b e^-x + x² : `x ("d"^2"y")/"dx"^2 + 2 "dy"/"dx" - xy + x^2 - 2 = 0`

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

y = e^x (a cos x + b sin x) : `("d"^2"y")/"dx"^2 - 2 "dy"/"dx" + 2 "y" = 0`

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

y = x sin 3x : `("d"^2"y")/"dx"^2 + 9 "y" - 6 cos 3x = 0`

निम्नलिखित प्रश्न को सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

x² = 2y² log y : `(x^2 + "y"^2)"dy"/"dx" - xy = 0`

(x – a)² + 2y² = a² द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समी० निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।

सिद्ध कीजिए कि x² – y² = c (x² + y²)² जहाँ c एक प्राचल है, अवकल समीकरण (x³ – 3xy²)dx = (y³ – 3x²y) dy का व्यापक हल है।

प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।

अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + sqrt((1 - "y"^2)/(1 - x^2))`= 0, जबकि x ≠ 1 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + ("y"^2 + "y" + 1)/(x^2 + x + 1)` = 0 का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 – x – y – 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है|

बिंदु `(0, π/4)` से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है।

अवकल समीकरण (1 + e^2x) dy + (1 + y²)e^x dx = 0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 1 यदि x = 0.

अवकल समीकरण ye^x/ydx = (xe^x/y + y²)dy (y ≠ 0) का हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण (x – y)(dx + dy) = dx – dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1, यदि x = 0.

अवकल समीकरण `["e"^(- 2sqrtx)/sqrtx - "y"/sqrtx] "dx"/"dy" = 1 (x ne 0)` का हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + "y" cot x = 4x " cosec"  x` (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है : y = 0 यदि x = `pi/2`.

अवकल समीकरण (x + 1)`"dy"/"dx" = 2"e"^(-"y") - 1` का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0.

किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?

अवकल समीकरण `("y dx" - x "dy")/"y" = 0` का व्यापक हल है:

`"dx"/"dy"` + P₁x = Q₁ के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है-

अवकल समीकरण e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0 का व्यापक हल है-