Chapters
Chapter 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
Chapter 3: आव्यूह
Chapter 4: सारणिक
Chapter 5: सांतत्य तथा अवकलनीयता
Chapter 6: अवकलज के अनुप्रयोग
Chapter 7: समाकलन
Chapter 8: समाकलनों के अनुप्रयोग
Chapter 9: अवकल समीकरण
Chapter 10: सदिश बीजगणित
Chapter 11: त्रि-विमीय ज्यामिति
Chapter 12: रैखिक प्रोग्रामन
Chapter 13: प्रायिकता
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Solutions for Chapter 4: सारणिक
Below listed, you can find solutions for Chapter 4 of CBSE NCERT for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २].
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 4 सारणिक प्रश्नावली 4.1 [Pages 118 - 119]
निम्नलिखित प्रश्न में सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`abs ((2,4),(-5,-1))`
निम्नलिखित प्रश्न में सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`abs(("cos" theta, -"sin" theta),("sin" theta, "cos" theta))`
निम्नलिखित प्रश्न में सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`abs (("x"^2 - "x" + 1, "x" - 1),("x" + 1, "x" + 1))`
यदि `"A" = [(1,2),(4,2)],` तो दिखाइए `abs(2 "A") = 4 abs "A"`
यदि `"A" = [(1,0,1),(0,1,2),(0,0,4)]` हो, तो दिखाइए `abs (3 "A") = 27 abs "A"`
निम्नलिखित सारणिक के मान ज्ञात कीजिए।
`abs ((3,-1,-2),(0,0,-1),(3,-5,0))`
निम्नलिखित सारणिक के मान ज्ञात कीजिए।
`abs ((3,-4,5),(1,1,-2),(2,3,1))`
निम्नलिखित सारणिक के मान ज्ञात कीजिए।
`abs ((0,1,2),(-1,0,-3),(-2,3,0))`
निम्नलिखित सारणिक के मान ज्ञात कीजिए।
`abs ((2,-1,-2),(0,2,-1),(3,-5,0))`
यदि `"A" = [(1,1,2),(2,1,3),(5,4,9)],` हो तो `abs "A"` ज्ञात कीजिए।
x के मान ज्ञात कीजिए यदि-
`abs ((2,4),(5,1)) = abs ((2"x", 4),(6, "x"))`
x के मान ज्ञात कीजिए यदि-
`abs ((2,3),(4,5)) = abs (("x", 3),(2"x", 5))`
यदि `abs ((x, 2),(18, x)) = abs ((6,2),(18,6))` हो तो x बराबर है:
6
`pm 6`
- 6
0
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 4 सारणिक प्रश्नावली 4.2 [Pages 129 - 131]
बिना प्रसरण किए और सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए।
`abs (("x", "a", "x + a"),("y", "b", "y + b"),("z", "c", "z + c")) = 0`
बिना प्रसरण किए और सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए।
`abs (("a - b", "b - c", "c - a"),("b - c", "c - a", "a - b"),("c - a", "a - b", "b - c")) = 0`
बिना प्रसरण किए और सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए।
`abs ((2,7,65),(3,8,75),(5,9,86)) = 0`
बिना प्रसरण किए और सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए।
`abs ((1, "bc", "a"("b + c")),(1, "ca", "b"("c + a")),(1, "ab", "c"("a + b"))) = 0`
बिना प्रसरण किए और सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए।
`abs (("b + c", "q + r", "y + z"),("c + a", "r + p", "z + x"),("a + b", "p + q", "x + y")) = 2 abs (("a","p","x"),("b","q","y"),("c","r","z"))`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs((0,"a", -"b"),(-"a", 0, -"c"),("b", "c",0)) = 0`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs ((-"a"^2, "ab","ac"),("ba",-"b"^2,"bc"),("ca","cb",-"c"^2)) = 4"a"^2"b"^2"c"^2`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs ((1,"a","a"^2),(1,"b","b"^2),(1,"c","c"^2)) = ("a - b")("b - c")("c - a")`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs ((1,1,1),("a","b","c"),("a"^3,"b"^3,"c"^3)) = ("a - b")("b - c")("c - a")("a + b + c")`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`Abs (("x","x"^2,"yz"),("y","y"^2,"zx"),("z","z"^2,"xy")) = ("x - y")("y - z")("z - x")("xy + yz + zx")`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs (("x" + 4, 2"x", 2"x"),(2"x", "x" + 4, 2"x"),(2"x", 2"x", "x"+ 4)) = (5"x" + 4)(4 - "x")^2`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs (("y + k", "y","y"),("y","y + k", "y"),("y","y", "y + k")) = "k"^2 (3"y + k")`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs (("a - b - c", 2"a", 2"a"),(2"b", "b - c - a",2"b"),(2"c",2"c","c - a - b")) = ("a + b + c")^3`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs(("x" + "y" + 2"z", "x", "y"),("z", "y" + "z" + 2"x","y"),("z" ,"x","z" + "x" + 2"y")) = 2 ("x + y + z")^3`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs ((1,"x","x"^2),("x"^2,1, "x"),("x","x"^2,1)) = (1 - "x"^3)^2`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए-
`abs ((1 + "a"^2 - "b"^2,2"ab", -2"b"),(2"ab", 1 - "a"^2 + "b"^2, 2"a"),(2"b", -2"a", 1 - "a"^2 - "b"^2)) = (1 + "a"^2 + "b"^2)^3`
सारणिक के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`abs (("a"^2 + 1, "ab", "ac"),("ab","b"^2 + 1,"bc"),("ca","cb","c"^2 + 1)) = 1 + "a"^2 + "b"^2 + "c"^2`
सही उत्तर चुनिए।
यदि A एक 3 x 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |kA| का मान होगा:
`"k" abs "A"`
`"k"^2 abs "A"`
`"k"^3 abs "A"`
`3"k" abs "A"`
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है।
सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।
सारणिक एक आव्यूह से संबंध एक संख्या है।
सारणिक एक वर्ग आव्यूह से संबंध एक संख्या है।
इनमें से कोई नहीं।
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 4 सारणिक प्रश्नावली 4.3 [Page 133]
निम्नलिखित प्रश्न में दिए गए शीर्ष बिंदुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(1, 0), (6, 0), 4, 3)
निम्नलिखित प्रश्न में दिए गए शीर्ष बिंदुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(2, 7), (1, 1), (10, 8)
निम्नलिखित प्रश्न में दिए गए शीर्ष बिंदुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(-2, -3), (3, 2), (-1, – 8)
दर्शाइए कि बिंदु A (a, b + c), B (b, c + a) और C (c, a + b) संरेख हैं।
प्रश्न में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है। जहाँ शीर्ष बिंदु निम्नलिखित हैं।
(k, 0), 4, 0), (0, 2)
प्रश्न में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है। जहाँ शीर्ष बिंदु निम्नलिखित हैं।
(-2, 0), (0, 4), (0, k)
सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा को समीकरण ज्ञात कीजिए।
यदि शीर्ष (2,-6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो k का मान है|
12
- 2
- 12, - 2
12, - 2
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 4 सारणिक प्रश्नावली 4.4 [Pages 136 - 137]
निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।
`abs ((2,-4),(0,3))`
निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड ज्ञात कीजिए।
`abs (("a","c"),("b","d"))`
निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड ज्ञात कीजिए।
`abs ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))`
निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड ज्ञात कीजिए।
`abs ((1,0,4),(3,5,-1),(0,1,2))`
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडो का प्रयोग करके `Delta = abs ((5,3,8),(2,0,1),(1,2,3))` का मान ज्ञात कीजिए।
तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडो का प्रयोग करके `Delta = abs ((1,"x","yz"),(1,"y","zx"),(1,"z","xy"))` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `Delta = abs (("a"_11,"a"_12,"a"_13),("a"_21,"a"_22,"a"_23),("a"_31,"a"_32,"a"_33))` और aij का सहखंड Aij हो तो Δ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
a11 A31 + a12 A32 + a13 A33
a11 A11 + a12 A21 + a13 A31
a21 A11 + a22 A12 + a23 A13
a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 4 सारणिक प्रश्नावली 4.5 [Pages 142 - 144]
प्रश्न में आव्यूह का सहखंडज (adjoint) ज्ञात कीजिए।
`[(1,2),(3,4)]`
प्रश्न में आव्यूह का सहखंडज (adjoint) ज्ञात कीजिए।
`[(1,-1,2),(2,3,5),(-2,0,1)]`
प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A =|A|. I है।
`[(2,3),(-4,-6)]`
प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A =|A|. I है।
`[(1,-1,2),(3,0,-2),(1,0,3)]`
प्रश्न में दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(2,-2),(4,3)]`
प्रश्न में दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(-1,5),(-3,2)]`
प्रश्न में दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,2,3),(0,2,4),(0,0,5)]`
प्रश्न में दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,0,0),(3,3,0),(5,2,-1)]`
प्रश्न में दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(2,1,3),(4,-1,0),(-7,2,1)]`
प्रश्न में दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,-1,2),(0,2,-3),(3,-2,4)]`
प्रश्न में दिए गए आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
`[(1,0,0),(0,"cos" alpha, "sin" alpha),(0,"sin" alpha, -"cos" alpha)]`
यदि `"A" = [(3,7),(2,5)]` और `"B" = [(6,8),(7,9)]` है तो सत्यापित कीजिए कि `("AB")^-1 = "B"^-1 "A"^-1` है।
यदि `"A" = [(3,1),(-1,2)]` है तो दर्शाइए कि A2 - 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A-1 ज्ञात कीजिए।
आव्यूह A `= [(3,2),(1,1)]` के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A2 + aA + bI = 0 हो।
आव्यूह A `= [(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3)]` के लिए दर्शाइए कि `"A"^3 - 6"A"^2 + 5 "A" + 11 "I" = 0` है। इसकी सहायता से A-1 ज्ञात कीजिए।
यदि `"A" = [(2,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,2)],` तो सत्यापित कीजिए कि `"A"^3 - 6"A"^2 + 9"A" - 4"I" = 0` है तथा इसकी सहायता से A-1 ज्ञात कीजिए।
यदि A, 3 × 3 कोटि का आव्यूह है तो |adj A| का मान है:
`abs "A"`
`abs "A"^2`
`abs "A"^3`
`3 abs "A"`
यदि A कोटि 2 को व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A-1) बराबर है:
det (A)
`1/("det" ("A"))`
1
0
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 4 सारणिक प्रश्नावली 4.6 [Page 148]
निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकाय का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकाय का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।
2x - y = 5
x + y = 4
निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकाय का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकाय का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकाय का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।
3x - y - 2z = 2
2y - z = - 1
3x - 5y = 3
निम्नलिखित प्रश्न में दी गई समीकरण निकाय का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।
5x - y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x - 2y + 6z = - 1
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
2x - y = - 2
3x + 4y = 3
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
4x - 3y = 3
3x - 5y = 7
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
2x + y + z = 1
x - 2y - z = `3/2`
3y - 5z = 9
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
x - y + 2 = 4
2x + y - 3z = 0
x + y + z = 2
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
2x + 3y + 3z = 5
x - 2y + z = - 4
3x - y - 2z = 3
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
x - y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = - 5
2x - y + 3z = 12
यदि `"A" = [(2,-3,5),(3,2,-4),(1,1,-2)]` है तो A-1 ज्ञात कीजिए। A-1 का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
2x - 3y + 5z = 11
3x + 2y - 4z = -5
x + y - 2z = -3
4 किग्रा प्याज, 3 किग्रा गेहूँ और 2 किग्रा चावल मूल्य Rs 60 है 2 किग्रा प्याज, 4 किग्रा गेहूँ और 6 किग्रा चावल का मूल्य Rs 90 है। 6 किग्रा प्याज, 2 किग्रा गेहूँ और 3 किग्रा चावल का मूल्य Rs 70 है। आव्यूह द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 4 सारणिक अध्याय 4 पर विविध प्रश्नावली [Pages 153 - 156]
सिद्ध कीजिए कि सारणिक `[(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x)],` θ से स्वतंत्र है |
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि `[(a,a^2,bc),(b,b^2,ca),(c,c^2,ab)] = [(1,a^2,a^3),(1,b^2,b^3),(1,c^2,c^3)]`
`[(cosalphacosbeta, cosalphasinbeta,-sinalpha),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalpha cosbeta,sinalphasinbeta,cosalpha)]` का मान ज्ञात कीजिए |
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिक Δ = `[(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)] = 0` हो तो दर्शाइए कि या तो a + b + c = 0 या a = b = c है |
यदि a ≠ 0 हो तो समीकरण `[(x+a, x, x),(x, x + a, x),(x,x,x+a)] = 0` को हल कीजिए |
सिद्ध कीजिए कि `[(a^2,bc,ac+c^2),(a^2+ab,b^2,ac),(ab,b^2+bc,c^2)] = 4a^2b^2c^2`
यदि A-1 = `[(3,-1,1),(-15,6,-5),(5,-2,2)]` और B = `[(1,2,-2),(-1,3,0),(0,-2,1)]`, हो तो (AB)-1 का मान ज्ञात कीजिए।
माना लीजिए A = `[(1,-2,1),(-2,3,1),(1,1,5)]` हो तो सत्यापित कीजिए कि
- [adj A]-1 = adj (A-1)
- (A-1)-1 = A
`[(x,y,x+y),(y,x+y,x),(x+y,x,y)]` का मान ज्ञात कीजिए |
`[(1,x,y),(1,x+y,y),(1,x,x+y)]` का मान ज्ञात कीजिए।
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`|(alpha,alpha^2,beta+gamma),(beta,beta^2,gamma+alpha),(gamma,gamma^2,alpha+beta)| = (beta - gamma)(gamma - alpha)(alpha - beta)(alpha + beta + gamma)`
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`[(x,x^2,1+px^3),(y,y^2,1+py^3),(z,z^2,1+pz^3)]` = (1 + pxyz) (x - y) (y - z) (z - x)
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`[(3a,-a + b, -a + c),(-b + a, 3b, -b + c),(-c + a, -c + b, 3c)]` = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`[(1, 1 + p, 1 + p + q),(2, 3 + 2p, 4 + 3p + 2q),(3, 6 + 3p, 10 + 6p + 3q)] = 1`
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए:
`[(sinalpha,cosalpha,cos(alpha + delta)),(sinbeta, cosbeta,cos(beta + delta)),(singamma,cosgamma, cos(gamma+delta))] = 0`
निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए
`2/x + 3/y + 10/z = 4`
`4/x - 6/y + 5/z = 1`
`6/x + 9/y - 20/z = 2`
निम्नलिखित प्रश्नों 17 से 19 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हों तो सारणिक `[(x+2,x+3,x+2a),(x+3,x+4,x+2b),(x+4,x+5,x+2c)]` का मान होगा:
0
1
x
2x
यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह A = `[(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)]` का व्युत्क्रम है:
`[(x^-1,0,0),(0,y^-1,0),(0,0,z^-1)]`
`xyz[(x^-1,0,0),(0,y^-1,0),(0,0,z^-1)]`
`1/(xyz)[(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)]`
`1/(xyz)[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]`
यदि A = `[(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1)]`, जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2π हो तो:
det (A) = 0
det (A) ∈ (2, ∞)
det (A) ∈ (2, 4)
det (A) ∈ [2, 4]
Solutions for Chapter 4: सारणिक
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] chapter 4 - सारणिक
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