NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] chapter 3 - आव्यूह [Latest edition]

आव्यूह `"A" = [(2,5,19,-7),(35,-2,5/2,12),(sqrt3,1,-5,17)]` के लिए ज्ञात कीजिए: 

आव्यूह की कोटि

आव्यूह `"A" = [(2,5,19,-7),(35,-2,5/2,12),(sqrt3,1,-5,17)]` के लिए ज्ञात कीजिए:

अवयवों की संख्या

आव्यूह `"A" = [(2,5,19,-7),(35,-2,5/2,12),(sqrt3,1,-5,17)]` के लिए ज्ञात कीजिए:

अवयव `"a"_13,  "a"_21,  "a"_33,  "a"_24,  "a"_23`

यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?

यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?

एक 2 × 2 आव्यूह `"A" = ["a"_"ij"]` की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं

`"a"_"ij" ("i + j")^2/2`

एक 2 × 2 आव्यूह `"A" = ["a"_"ij"]` की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं

`"a"_"ij" = "i"/"j"`

एक 2 × 2 आव्यूह `"A" = ["a"_"ij"]` की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं

`"a"_"ij" = ("i" + 2  "j")^2/2`

एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं:

`"a"_"ij" = 1/2 abs (- 3  "i + j")`

एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं:

`"a"_"ij" = 2  "i - j"`

निम्नलिखित समीकरण से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए:

`[(4,3), ("x",5)] = [("y","z"),(1,5)]`

निम्नलिखित समीकरण से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए:

`[("x"+"y", 2),(5+"y", "xy")] = [(6,2),(5,8)]`

निम्नलिखित समीकरण से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए:

`[("x"+"y"+"z"), ("x"+"z"), ("y"+"z")] = [(9),(5),(7)]`

समीकरण `[("a"-"b", 2"a"+"c"),(2"a"-"b", 3"c"+"d")] = [(-1,5),(0,13)]` से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।

`"A" = ["a"_"ij"]_("m"xx"n")` एक वर्ग आव्यूह है यदि-

x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?

`[(3"x"+7, 5),("y"+1, 2-3"x")] = [(0,"y"-2),(8,4)]`

3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?

मान लीजिए कि `"A" = [(2,4),(3,2)] , "B" = [(1,3),(-2,5)], "C" = [(-2,5),(3,4)]`, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

A + B

मान लीजिए कि `"A" = [(2,4),(3,2)], "B" = [(1,3),(-2,5)], "C" = [(-2,5),(3,4)]`, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

A - B

मान लीजिए कि `"A" = [(2,4),(3,2)] , "B" = [(1,3),(-2,5)], "C" = [(-2,5),(3,4)]`, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

3A - C

मान लीजिए कि `"A" = [(2,4),(3,2)] , "B" = [(1,3),(-2,5)], "C" = [(-2,5),(3,4)]`, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

AB

मान लीजिए कि `"A" = [(2,4),(3,2)] , "B" = [(1,3),(-2,5)], "C" = [(-2,5),(3,4)]`, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

BA

निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:

`[("a","b"),("-b", "a")] + [("a","b"),("b","a")]`

निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:

`[("a"^2+"b"^2, "b"^2+"c"^2),("a"^2+"c"^2, "a"^2+"b"^2)] + [(2"ab" , 2"bc"),(-2"ac", -2"ab")]`

निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:

`[(-1,4, -6),(8,5,16),(2,8,5)] + [(12,7,6),(8,0,5),(3,2,4)]`

निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:

`[("cos"^2"x", "sin"^2 "x"),("sin"^2 "x" ,"cos"^2 "x")]+[("sin"^2 "x", "cos"^2 "x"), ("cos"^2 "x", "sin"^2 "x")]`

निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए:

`[("a","b"),("-b","a")][("a","-b"),("b","a")]`

निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए:

`[(1),(2),(3)] [2,3,4]`

निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए:

`[(1, -2),(2,3)][(1,2,3),(2,3,1)]`

निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए:

`[(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6)][(1,-3,5),(0,2,4), (3,0,5)]`

निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए:

`[(2,1),(3,2),(-1,1)][(1,0,1),(-1,2,1)]`

निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए:

`[(3,-1,3),(-1,0,2)][(2,-3),(1,0),(3,1)]`

यदि `"A" = [(1,2,-3),(5,0,2),(1,-1,1)], "B" = [(3,-1,2),(4,2,5),(2,0,3)] "and C" = [(4,1,2),(0,3,2),(1,-2,3)]` तो (A + B) तथा (B – C) परिकलित कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि A + (B – C) = (A + B) – C.

यदि `"A" = [(2/3, 1, 5/3), (1/3, 2/3, 4/3),(7/3, 2, 2/3)] "and B" = [(2/5, 3/5,1),(1/5, 2/5, 4/5), (7/5,6/5, 2/5)]` तो 3A - 5B परिकलित कीजिए।

सरल कीजिए, `"cos"  theta[("cos"  theta, "sin"  theta),("-sin"  theta, "cos"  theta)] + "sin"  theta [("sin"  theta, "-cos"  theta), ("cos"  theta, "sin"  theta)]`

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि

`"X + Y" = [(7,0),(2,5)] "and X - Y" = [(3,0),(0,3)]`

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि

`2"X" + 3"Y" = [(2,3),(4,0)] "तथा"  3"X" + 2"Y" = [(2, -1),(-1,5)]`

X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि

`"Y" = [(3, 2),(1,4)]` तथा `2"X + Y" = [(1, 0),(-3, 2)]`

x तथा y ज्ञात कीजिए. यदि  `2[(1,3),(0, "x")]+[("y",0),(1,2)] = [(5,6),(1,8)]`

प्रदत्त समीकरण को x, y, z तथा t के लिए हल कीजिए यदि `2[("x", "z"),("y", "t")] + 3[(1,-1),(0,2)] = 3[(3,5),(4,6)]`

यदि `"x" [2/3] + "y" [(-1),(1)] = [10/5]` है तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।

यदि `3[("x", "y"),("z", "w")] = [("x",6),(-1, 2"w")] + [(4, "x + y"),("z + w" ,3)]` है तो x, y, z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए।

यदि F(x) = `[("cos x", "-sin x", 0),("sin x", "cos x", 0),(0,0,1)]` है तो सिद्ध कीजिए कि F(x) · F(y) = F(x + y)

दशाईए कि `[(5, -1),(6,7)][(2,1),(3,4)] ne [(2,1),(3,4)][(5,-1),(6,7)]`

दशाईए कि `[(1,2,3),(0,1,0),(1,1,0)][(-1,1,0),(0,-1,1),(2,3,4)] ne [(-1,1,0),(0,-1,1),(2,3,4)][(1,2,3),(0,1,0),(1,1,0)]`

यदि A `[(2,0,1),(2,1,3),(1,-1,0)]` है तो A² – 5A + 6I का मान ज्ञात कीजिए।

यदि A = `[(1,0,2),(0,2,1),(2,0,3)]` है तो सिद्ध कीजिए कि A³ – 6A² + 7A + 2I = 0

यदि A = `[(3, -2),(4,-2)]` तथा I = `[(1,0),(0,1)]` एवं
A² = kA – 2I हो तो k ज्ञात कीजिए।

यदि `"A" = [(0, "-tan" alpha/2), ("tan" alpha/2, 0)]`  तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है। तो सिद्ध कीजिए कि I + A = `("I - A")[("cos"  alpha, "-sin"  alpha),("sin"  alpha, "cos"  alpha)]`

किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है, जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर 5% वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बांटें जिससे व्यापार संघको प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज Rs. 1800 हो।

किसी व्यापार संघ के पास 30,000 रुपयों का कोष है, जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर 5% वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30,000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटे जिससे व्यापार संघको प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज Rs. 2000 हो।

किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs. 80, Rs. 60 तथा Rs. 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी?

मान लीजिए कि X, Y, z,W तथा P क्रमशः 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 तथा px k कोटियों के आव्यूह हैं। नीचे दिए प्रश्न से सही उत्तर चुनिए।

PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबंध होगा?

मान लीजिए कि X, Y, z,W तथा P क्रमशः 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 तथा px k कोटियों के आव्यूह हैं। नीचे दिए प्रश्न से सही उत्तर चुनिए।

यदि n = p, तो आव्यूह 7X – 5Z की कोटि है।

निम्नलिखित आव्यूह का परिवर्त ज्ञात कीजिए:

`[(5),(1/2),(-1)]`

निम्नलिखित आव्यूह का परिवर्त ज्ञात कीजिए:

`[(1,-1),(2,3)]`

निम्नलिखित आव्यूह का परिवर्त ज्ञात कीजिए:

`[(-1,5,6),(sqrt3, 5, 6),(2,3,-1)]`

यदि `"A" = [(-1,2,3),(5,7,9),(-2,1,1)]` तथा B = `[(-4,1,-5),(1,2,0),(1,3,1)]` है तो सत्यापित कीजिए कि

(A + B)' = A' + B'

यदि `"A" = [(-1,2,3),(5,7,9),(-2,1,1)]` तथा B = `[(-4,1,-5),(1,2,0),(1,3,1)]` है तो सत्यापित कीजिए कि

(A - B)' = A' - B'

यदि A' = `[(3,4),(-1,2),(0,1)]` तथा B = `[(-1,2,1),(1,2,3)]` है तो सत्यापित कीजिए कि

(A + B)' = A' + B'

यदि A' = `[(3,4),(-1,2),(0,1)]` तथा B = `[(-1,2,1),(1,2,3)]` है तो सत्यापित कीजिए कि

(A - B)' = A' - B'

यदि A' = `[(-2,3),(1,2)] and "B" = [(-1,0),(1,2)]` है तो (A + 2B)' ज्ञात कीजिए।

A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)' = B' A', जहाँ

`"A" =[(1),(-4), (3)], "B" = [(-1, 2, 1)]`

A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)' = B' A', जहाँ

`"A" = [(0), (1),(2)] , "B" = [(1 , 5, 7)]`

यदि A = `[("cos"  alpha, "sin"  alpha), ("-sin"  alpha, "cos"  alpha)]` हो तो सत्यापित कीजिए कि A' A = I

यदि B = `[("sin"  alpha, "cos"  alpha),(-"cos"  alpha, "sin"  alpha)]` हो तो सत्यापित कीजिए कि A’ A = I

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A `= [(1,-1,5),(-1,2,1),(5,1,3)]` एक सममित आव्यूह है।

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = `[(0,1,-1),(-1,0,1),(1,-1,0)]` एक विषम सममित आव्यूह है।

आव्यूह A =  `[(1,5),(6,7)]` के लिए सत्यापित कीजिए कि (A + A’) एक समित आव्यूह है।

आव्यूह A = `[(1,5),(6,7)]` के लिए सत्यापित कीजिए कि (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।

यदि `"A" = [(0, "a", "b"),("-a", 0, "c"),("-b", "-c", 0)]`  तो `1/2` (A + A’) तथा `1/2` (A – A’) ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

`[(3,5),(1, -1)]`

निम्नलिखित आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

`[(6,-2,2),(-2,3,-1),(2,-1,3)]`

निम्नलिखित आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

`[(3,3,-1),(-2,-2,1),(-4,-5,2)]`

निम्नलिखित आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

`[(1,5),(-1,2)]`

यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB – BA एक ______।

यदि A= `[("cos"  alpha, "-sin"  alpha),("sin"  alpha, "cos"  alpha)]` तथा A + A' = I, तो α का मान है।

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(1, -1),(2,3)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,1),(1,1)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(1,3),(2,7)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,3),(5,7)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,1),(7,4)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,5),(1,3)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(3,1),(5,2)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(4,5),(3,4)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(3,10),(2,7)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(3,-1),(-4,2)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,-6),(1,-2)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(6,-3),(-2,1)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,-3),(-1,2)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,1),(4,2)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,-3,3),(2,2,3),(3,-2,2)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(1,3,-2),(-3,0,-5),(2,5,0)]`

आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारंभिक रूपांतरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।

`[(2,0,-1),(5,1,0),(0,1,3)]`

आव्यूह A तथा B एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे केवल यदि-

मान लीजिए कि A = `[(0, 1), (0, 0)]` हो तो दिखाइए कि सभी n ∈ N के लिए (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^{n - 1}bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।

यदि A = `[(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)]`, तो सिद्ध कीजिए कि `"A"^"n" = [(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1}),(3^{n - 1},3^{n - 1},3^{n - 1})]`, n ∈ N

यदि A = `[(3,-4),(1,-1)]` तो सिद्ध कीजिए कि Aⁿ = `[(1 + 2"n", -4"n"), ("n", 1 - 2"n")]` जहाँ n एक धन पूर्णांक है।

यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB - BA एक विषम सममित आव्यूह है।

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B’ AB सममित अथवा विषम सममित है, यदि A सममित अथवा विषम सममित है।

x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह A = `[(0,2y,z),(x,y,-z),(x,-y,z)]` समीकरण A’A = I को संतुष्ट करता है।

x के किस मान के लिए `[(1,2,1)][(1,2,0), (2,0,1), (1,0,2)][(0),(2),(x)] = 0` है |

यदि A = `[(3,1), (-1,2)]` हो तो सिद्ध कीजिए कि A² - 5A + 7I = 0 है।

यदि `[x -5 -1][(1,0,2), (0,2,1), (2,0,3)][(x),(4),(1)] = 0` है तो x का मान ज्ञात कीजिए।

एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ x, y, तथा z का उत्पादन करता है जिन का वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:

1. यदि x, y तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: Rs 2.50, Rs 1.50 तथा Rs 1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
2. यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (Cost) क्रमश: Rs 2.00, Rs 1.00 तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross Profit) ज्ञात कीजिए।

आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि `"X"[(1,2,3), (4,5,6)] = [(-7,-8,-9), (2,4,6)]` है |

यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।

यदि A = `[(alpha, beta), (ϒ, -alpha)]` इस प्रकार है कि A² = I, तो ______।

यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो ______.

यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A² = A, तो (I + A)³ - 7A बराबर है: