Chapters
Chapter 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
Chapter 3: आव्यूह
Chapter 4: सारणिक
Chapter 5: सांतत्य तथा अवकलनीयता
Chapter 6: अवकलज के अनुप्रयोग
Chapter 7: समाकलन
Chapter 8: समाकलनों के अनुप्रयोग
Chapter 9: अवकल समीकरण
Chapter 10: सदिश बीजगणित
Chapter 11: त्रि-विमीय ज्यामिति
Chapter 12: रैखिक प्रोग्रामन
Chapter 13: प्रायिकता
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Solutions for Chapter 11: त्रि-विमीय ज्यामिति
Below listed, you can find solutions for Chapter 11 of CBSE NCERT for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २].
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति प्रश्नावली 11.1 [Page 482]
यदि एक रेखा x, y और z-अक्ष के साथ क्रमशः 90°, 135°, 45° के कोण बनती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशाक्षों के साथ समान कोण बनाती है।
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात –18, 12, –4, हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?
दर्शाइए कि बिंदु (2, 3, 4), (−1, −2, 1), (5, 8, 7) संरेख हैं।
एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु (3, 5, −4), (−1, 1, 2) और (−5, –5, –2) हैं।
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति प्रश्नावली 11.2 [Pages 491 - 493]
दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन `12/13, (-3)/13, (-4)/13; 4/13, 12/13, 3/13; 3/13, (-4)/13, 12/13` वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
दर्शाइए कि बिंदुओं (1, −1, 2), (3, 4, −2) से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब है।
दर्शाइए कि बिंदुओं (4, 7, 8), (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं (−1, −2, 1), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समांतर है।
बिंदु (1, 2, 3) से गुज़रने वाली रेखा का λ ज्ञात कीजिए जो सदिश `3hat"i" + 2hat"j" - 2hat"k"` के समांतर है।
बिंदु जिसकी स्थिति सदिश `2hat"i" - hat"j" + 4hat"k"` से गुज़रने व सदिश `hat"i" + 2hat"j" - hat"k"` की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (−2, 4, −5) से जाती है और `("x" + 3)/3 = ("y" - 4)/5 = ("z" + 8)/6` के समांतर है।
एक रेखा का कार्तीय समीकरण `("x" - 5)/3 = ("y" + 4)/7 = ("z" - 6)/2` है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
मूल बिंदु और (5, −2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं (3, −2, −5) और (3, −2, 6) से गुज़रने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
`vec"r" = 2hat"i" - 5hat"j" + hat"k" + λ(3hat"i" + 2hat"j" + 6hat"k")` और `vec"r" = 7hat"i" - 6hat"k" + µ (hat"i" + 2hat"j" + 2hat"k")`
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
`vec"r" = 3hat"i" + hat"j" - 2hat"k" + λ(hat"i" - hat"j" - 2hat"k")` और `vec"r" = 2hat"i" - hat"j" - 56hat"k" + µ (3hat"i" - 5hat"j" - 4hat"k")`
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
`("x" - 2)/2 = ("y" - 1)/5 = ("z" + 3)/-3` और `("x" + 2)/-1 = ("y" - 4)/8 = ("z" - 5)/4`
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
`"x"/2 = "y"/2 = "z"/1` और `("x" - 5)/4 = ("y" - 2)/1 = ("z" - 3)/8`
p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ `(1 - "x")/3 = (7"y" - 14)/(2"p") = ("z" - 3)/2` और `(7 - 7"x")/(3"p") = ("y" - 5)/1 = (6 -"z")/5` परस्पर लंब हों।
दिखाइए कि रेखाएँ `("x" - 5)/7 = ("y" + 2)/-5 = "z"/1` और `"x"/1 = "y"/2 = "z"/3` परस्पर लंब हैं।
रेखाओं `vec"r" = (hat"i" + 2hat"j" + hat"k") + λ(hat"i" - hat"j" + hat"k")` और `vec"r" = 2hat"i" - hat"j" - hat"k" + µ(2hat"i" + hat"j" + 2hat"k")` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
रेखाओं `("x" + 1)/7 = ("y" + 1)/-6 = ("z" + 1)/1` और `("x"- 3)/1 = ("y" - 5)/-2 = ("z" - 7)/1` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
`vec"r" = (hat"i" + 2hat"j" + 3hat"k") + λ(hat"i" - 3hat"j" + 2hat"k")` और `vec"r" = 4hat"i" + 5hat"j" + 6hat"k" + µ(2hat"i" + 3hat"j" + hat"k")`
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम ज्ञात कीजिए:
`vec"r" = (1 - "t")hat"i" + ("t" - 2)hat"j" + (3 - 2"t")hat"k"` और `vec"r" = ("s" + 1)hat"i" + (2"s" - 1)hat"j" + (2"s" + 1)hat"k"`
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति प्रश्नावली 11.3 [Pages 507 - 509]
निम्नलिखित प्रश्न में से प्रत्येक में समतल के अभिलंब की दिक्-कोसाइन और मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए:
z = 2
निम्नलिखित प्रश्न में से प्रत्येक में समतल के अभिलंब की दिक्-कोसाइन और मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए:
x + y + z = 1
निम्नलिखित प्रश्न में से प्रत्येक में समतल के अभिलंब की दिक्-कोसाइन और मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए:
2x + 3y − z = 5
निम्नलिखित प्रश्न में से प्रत्येक में समतल के अभिलंब की दिक्-कोसाइन और मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए:
5y + 8 = 0
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए, जो मूल बिंदु से 7 मात्रक दूरी पर है, और सदिश `3hat"i" + 5hat"j" - 6hat"k"` पर अभिलंब है।
निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए:
`vec"r". (hat"i" + hat"j" - hat"k") = 2`
निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए:
`vec"r". (2hat"i" + 3hat"j" - 4hat"k") = 1`
निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए:
`vec"r". [("s" - 2"t")hat"i" + (3 - "t")hat"j" + (2"s" + "t")hat"k"] = 15`
निम्नलिखित स्थितियों में, मूल बिंदु से खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2x + 3y + 4z − 12 = 0
निम्नलिखित स्थितियों में, मूल बिंदु से खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3y + 4z − 6 = 0
निम्नलिखित स्थितियों में, मूल बिंदु से खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
x + y + z = 1
निम्नलिखित स्थितियों में, मूल बिंदु से खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
5y + 8 = 0
निम्नलिखित प्रतिबंधों के अंतर्गत समतलों का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो:
बिंदु (1, 0, −2) से जाता हो और `hat"i" + hat"j" - hat"k"` समतल पर अभिलंब है।
निम्नलिखित प्रतिबंधों के अंतर्गत समतलों का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो:
बिंदु (1, 4, 6) से जाता हो और `hat"i" - 2hat"j" + hat"k"` समतल पर अभिलंब सदिश है।
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिंदुओं से गुजरता है।
(1, 1, −1), (6, 4, −5), (−4, −2, 3)
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिंदुओं से गुजरता है।
(1, 1, 0), (1, 2 1), (−2, 2, −1)
समतल 2x + y – z = 5 द्वारा काटे गए अतः खंडों को ज्ञात कीजिए।
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अक्ष पर अंत: खंड 3 और जो तल ZOX के समांतर है।
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x − y + 2z − 4 = 0 और x + y + z − 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिंदु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों `vec"r".(2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") = 7, vec"r" (2hat"i" + 5hat"j" +3hat"k") = 9` के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।
तलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x − y + z = 0 पर लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समतलों, जिनके सदिश समीकरण `vec"r". (2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") = 5` और `vec"r".(3 hat"i" - 3hat"j" + 5hat"k") = 3` हैं, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x − y − 10z + 4 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
2x + y + 3z – 2 = 0 और x – 2y + 5 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
2x – 2y + 4z + 5 = 0 और 3x – 3y + 6z – 1 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
2x − y + 3z − 1 = 0 और 2x − y + 3z + 3 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
4x + 8y + z – 8 = 0 और y + z – 4 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक दिए गए बिंदु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
| बिंदु | समतल |
| (0, 0, 0) | 3x − 4y + 12z = 3 |
निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक दिए गए बिंदु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
| बिंदु | समतल |
| (3, −2, 1) | 2x − y + 2z + 3 = 0 |
निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक दिए गए बिंदु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
| बिंदु | समतल |
| (2, 3, −5) | x + 2y − 2z = 9 |
निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक दिए गए बिंदु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
| बिंदु | समतल |
| (−6, 0, 0) | 2x − 3y + 6z − 2 = 0 |
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति अध्याय 11 पर विविध पश्नावली [Pages 512 - 514]
दिखाइए कि मूल बिंदु से (2 1, 1) मिलाने वाली रेखा, बिंदुओं (3, 5, −1) और (4, 3, −1) से निर्धारित रेखा पर लंब है।
यदि दो परस्पर लंब रेखााओं की दिक्-कोसाइन l1, m1, n1 और l2, m2, n2 हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लंब रेखा की दिक्-कोसाइन m1n2 − m2n1, n1l2 − n2l1, l1m2 − l2m1 हैं।
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक्-अनुपात a, b, c और b − c, c − a, a − b हैं।
x-अक्ष के समांतर तथा मूल बिंदु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7), (−4, 3, –6) और (2, 9, 2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
यदि रेखाएँ `("x"- 1)/(-3) = ("y"- 2)/(2"k") = ("z" - 3)/(2)` और `("x"- 1)/(3"k") = ("y"- 1)/1 = ("z" - 6)/(-5)` परस्पर लंब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
बिंदु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा तल `vec"r". (hat"i" + 2hat"j" - 5hat"k") + 9 = 0` पर लंबवत् रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल `vec"r". (hat"i" + hat"j" + hat"k") = 2` के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
रेखाओं `vec"r" = 6hat"i" + 2hat"j" + 2hat"k" + λ(hat"i" - 2hat"j"+ 2hat"k")`और `vec"r" = -4hat"i" - hat"k" + µ(3hat"i" - 2hat"j"+ 2hat"k")` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX-तल को काटती है।
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं (3, −4, −5) और (2, −3, 1) से गुज़रने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
बिंदु (−1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y + z = 0 में से प्रत्येक पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदु (1, 1, p) और (−3, 0, 1) समतल `vec"r". (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13 = 0` से समान दूरी पर स्थित हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
समतलों `vec"r". (hat"i"+ hat"j" + hat"k") = 1` और `vec"r". (2hat"i" + 3hat"j" - hat"k") + 4 = 0` के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
यदि O मूल बिंदु तथा बिंदु P के निर्देशांक (1, 2, −3) हैं तो बिंदु P से जाने वाले तथा OP के लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समतलों `vec"r". (hat"i" + 2hat"j" + 3hat"k") - 4 = 0` और `vec"r". (2hat"i" + hat"j" - hat"k") + 5 = 0` के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल `vec"r".(5hat"i" + 3hat"j" - 6hat"k")+ 8 = 0` के लंबवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु (−1, −5, –10) से रेखा `vec"r" = 2hat"i" - hat"j" + 2hat"k" + λ (3hat"i" + 4hat"j" + 2hat"k")` और समतल `vec"r". (hat"i" - hat"j" + hat"k") = 5` के प्रतिच्छेदन बिंदु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
बिंदु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों `vec"r".(hat"i" - hat"j" + 2hat"k") = 5` और `vec"r". (3hat"i" + hat"j" + hat"k") = 6` के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं `("x" - 8)/3 = ("y" + 19)/-16 = ("z" -10)/7` और `("x" - 15)/3 = ("y" - 29)/8 = ("z" - 5)/-5` पर लंब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
यदि एक समतल के अंतः खंड a, b, c हैं और इसकी मूल बिंदु से दूरी p इकाई हैं तो सिद्ध कीजिए कि `1/"a"^2 + 1/"b"^2 + 1/"c"^2 = 1/"p"^2`
निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए:
दो समतलों 2x + 3y + 4z = 4 और 4x + 6y + 8z = 12 के बीच की दूरी है:
2 इकाई
4 इकाई
8 इकाई
`2/sqrt29` इकाई
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं:
परस्पर लंब
समांतर
y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन करते हैं।
बिंदु `(0, 0, 5/4)` से गुजरते हैं।
Solutions for Chapter 11: त्रि-विमीय ज्यामिति
NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] chapter 11 - त्रि-विमीय ज्यामिति
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Concepts covered in Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति are त्रि-विमीय ज्यामिति, रेखा के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात, अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण, दो रेखाओं के मध्य कोण, दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी, दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की दूरी, समांतर रेखाओं के बीच की दूरी, समतल, अभिलंब रूप में एक समतल का समीकरण, एक दिए सदिश के अनुलंब तथा दिए बिंदु से होकर जाने वाले समतल का समीकरण, तीन असंरेखीय बिंदुओं से होकर जाने वाले समतल का समीकरण, समतल के समीकरण का अंतः खंड-रूप, दो दिए समतलों के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाला समतल, दो रेखाओं का सह-तलीय होना, दो समतलों के बीच का कोण, समतल से दिए गए बिंदु की दूरी, एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण.
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