NCERT solutions for Mathematics Part 1 and 2 Class 12 [गणित भाग १ व २] chapter 1 - संबंध एवं फलन [Latest edition]

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समुच्चय A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} में संबंध R, इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(x, y) : 3x - y = 0}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित संबंध R.

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {x, y) : y भाज्य है x से) द्वारा परिभाषित संबंध R है।

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x - y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R.

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y की पत्नी है}

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:

किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R.

R = {(x, y) : x, y के पिता हैं}

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

सिद्ध कीजिए कि R में R = {(a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b³} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक हैं?

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1,2), (2,1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।

सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।

सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3 ,5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:

R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है},

प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:

R = {(a, b) : a = b},

प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।

सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल  बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।

सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T₁ T₂) : T₁ T₂, के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T₁ भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T_2, तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T₃  पर विचार कीजिए। T₁ T₂ और T₃  में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?

सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(p₁, p₂) : p₁, तथा p₂}, की भुजाओं की संख्या समान है। प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = {(L_1, L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि समुच्चय {(1, 2, 3, 4)} में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।

मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:

सिद्ध कीजिए कि `f (x) = 1/x` द्वारा परिभाषित फलन f : R_• → R_• एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R_• सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R_• को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R_• ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x²  द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।

निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :

f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।

सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णाक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।

सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x,  यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर -x, यदि x ऋण है।

सिद्ध कीजिए कि f : R → R,

f(x) = `{(1, "यदि"  "x" > 0), (0, "यदि"  "x" = 0), (-1, "यदि"  "x" < 0):}`

द्वारा प्रदत्त चिन्ह फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।

निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइये।

f(x) = 3 - 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

f(x) = 1 + x² द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

मान लीजिए A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार हैं कि f(a, b) = f(b, a) एक एकैकी आच्छादि (bijective) फलन है।

मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए f(n) = `{((n+1)/2, "यदि  n  विषम है"),(n/2,"यदि  n  सम है"):}` 

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है।

बतलाइए कि क्या फलन f  एकैकी आच्छादि (bijective) है अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए कि A= R - {3} तथा B = R - {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए f : R → R, f (x) = x⁴  द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।

मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए :

मान लीजिए कि f : {1, 3, 4} → {1,2, 5} तथा f : {1,2, 5} → {1, 3}, f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1} तथा g = {(1, 3), (2, 3), (5, 1} द्वारा प्रदत्त हैं। gof  ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि f, g तथा h, R से R तक दिए फलन हैं। सिद्ध कीजिए कि
(f + g) oh = foh + goh
(f . g) oh = (foh) . (goh)

gof  तथा fog ज्ञात कीजिए, यदि

f(x) = |x| तथा g(x) = |5x - 2|

gof तथा fog ज्ञात कीजिए, यदि

f(x) = 8x³ तथा g(x) = x^1/3

यदि f (x) = `((4x + 3))/((6x - 4)), x ne 2/3,` तो सिद्ध कीजिए कि सभी `x ne 2/3` के लिए fof(x) = x है। f का प्रतिलोम फलन क्या है?

कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलन प्रतिलोम हैं?

f : {1, 2, 3, 4} → {10} जहाँ
f = {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)}

कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलन प्रतिलोम हैं?

g : {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4} जहाँ
g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}

कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलन प्रतिलोम हैं?

h : {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13} जहाँ
h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}

सिद्ध कीजिए कि f : [-1, 1] → R, f(x) = `x/((x + 2))` द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है | फलन f : [-1, 1] → (f का परिसर), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए |

(संकेत y ∈ परिसर f, के लिए, [-1, 1] के किसी x के अंतर्गत y = f(x) = `x/(x + 2),` अर्थात x = `(2y)/((1 - y)`

f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

f(x) = x² + 4 द्वारा प्रदत्त फलन f : R₊ → [4, ∞] पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा F का प्रतिलोम f^-1, f^-1(y) = `sqrt (y - 4)`, द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ R₊ सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

f(x) = 9x² + 6x - 5 द्वारा प्रदत्त फलन f : R₊ → [-5, ∞] पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f^-1(y) = `(((sqrt(y + 6)) - 1)/3)` है।

मान लीजिए कि f : X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।

(संकेत: कल्पना कीजिये कि f के दो प्रतिलोम फलन g₁ तथा g₂ है। तब सभी y ∈ Y के लिए fog₁(y) = 1_Y(y) = fog₂(y) है। अब f के एकैकी गुण का प्रयोग कीजिए)

f : {1, 2, 3} → {a, b, c}, f(1) = a, f(2) = b तथा f(3) = c, द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए। f ^-1 ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि (f ^-1)^-1= f है।

मान लीजिए कि f : X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f^-1 का प्रतिलोम f है अर्थात् (f ^-1)^-1 = f है।

यदि f : R → R, f(x) = `(3 - x^3)^(1/3)`, द्वारा प्रदत्त है, तो fof(x) बराबर है।

मान लीजिए कि f(x) = `(4x)/(3x + 4)` द्वारा परिभाषित एक फलन f : R - `{-4/3}` → R है। f का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्र (Map) g : परिसर f → R - `{-4/3}`, निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगा:

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।

Z⁺ में, a * b = a - b द्वारा परिभाषित संक्रिया *

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।

Z⁺ में, a * b = ab द्वारा परिभाषित संक्रिया *

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।

R में, संक्रिया *, a * b = ab² द्वारा परिभाषित

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।

Z⁺ में, संक्रिया *, a * b = |a - b| द्वारा परिभाषित

निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया से * एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।

Z⁺ में, संक्रिया *, a * b = a द्वारा परिभाषित

निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमय है तथा क्या * साहचर्य है।

Z में, a * b = a - b द्वारा परिभाषित

निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।

Q में, a * b = ab + 1 द्वारा परिभाषित

निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या  * साहचर्य है।

Q में, a * b = `(ab)/2`  द्वारा परिभाषित

निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।

Z⁺ में, a * b = 2^ab द्वारा परिभाषित

निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।

Z⁺ में, a* b = a^b द्वारा परिभाषित

निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।

R - {- 1} में, a * b = `a/(b + 1)` द्वारा परिभाषित

समुच्चय {1, 2, 3, 4,5} में a ∧ b = निम्नतम {a, b} द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया पर विचार कीजिए। संक्रिया ∧ के लिए संक्रिया सारणी लिखिए।

समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में, निम्नलिखित संक्रिया सारणी द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए तथा

(i) (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए।

(ii) क्या * क्रमविनिमेय है?

(iii) (2 * 3) * (4 * 5) का परिकलन कीजिए।

(संकेत : निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)

मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया *’, a *’ b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित है। क्या संक्रिया *’ उर्पयुक्त प्रश्न 4 में परिभाषित संक्रिया * के समान है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

5 * 7, 20 * 16

मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

क्या संक्रिय * क्रमविनिमेय है?

मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

क्या * साहचर्य है?

मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

N में * का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

N के कौन से अवयव * संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय है?

क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए कि N में a * b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या * क्रमविनिमेय है? क्या * साहचर्य है? क्या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है?

मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:

a * b = a - b

ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।

मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:

a * b = a² + b²

ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।

मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:

a * b = a + ab

ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।

मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:

a * b = (a - b)²

ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।

मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:

`a * b = a^b/4`

ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।

मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:

a * b = ab²

ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।

प्रश्न 9 में दी गई संक्रियाओं में किसी का तत्समक है, वह बतलाइए।

मान लीजिए कि A = N × N है तथा A में (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है। A में * का तत्समक अवयव, यदि कोई है, तो ज्ञात कीजिए।

बतलाइए कि क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं। औचित्य भी बतलाइए।

समुच्चय N में किसी भी स्वेच्छ द्विआधारी संक्रिया* के लिए a * a = a, ∀ a ∈ N

यदि N में * एक क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है तो a * (b * c)=(c * b) * a

a * b = a³ + b³ प्रकार से परिभाषित N में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए। अब निम्नलिखित में से सही उत्तर का चयन कीजिए।

मान लीजिए कि f : R → R, f(x) = 10x + 7 द्वारा परिभाषित फलन है | एक ऐसा फलन g : R → R ज्ञात कीजिए जिसके लिए g o f = f o g = 1_R हो |

मान लीजिए कि f : W → W, f(n) = n - 1, यदि n विषम है तथा f(n) = n + 1, यदि n सम है, द्वारा परिभाषित है | सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है | f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए | यहाँ W समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है |

यदि f : R → R जहाँ f(x) = x² - 3x + 2 द्वारा परिभाषित है तो f(f(x)) ज्ञात कीजिए |

सिद्ध कीजिए कि f : R → {x ∈ R : -1 < x < 1} जहाँ f(x) = `x/(1 + |x|)`, x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है |

सिद्ध कीजिए कि f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैक (Injective) है |

दो फलनों f : N → Z तथा g : Z → Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि, gof एकैक है परंतु g एकैक नहीं है |

(संकेतन: f(x) = x तथा g(x) = |x| पर विचार कीजिए |)

दो फलनों f : N → N तथा g : N → N के उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि, gof आच्छादक है किंतु f आच्छादन नहीं है |

(संकेत: f(x) = x + 1 तथा g(x) = `{{:(x - 1","    x > 1),(1"," x = 1):}` पर विचार कीजिए |)

एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है | P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए | निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए: P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A ⊂ B है | क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए |

किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए एक द्विआधारी संक्रिया * : P(X) × P(X) → P(X) पर विचार कीजिए, जो A * B = A ∩ B, ∀A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है, जहाँ P(X) समुच्चय X का घात समुच्चय (Power set) है | सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव X है तथा संक्रिया * के लिए P(X) में केवल X व्युत्क्रमणीय अवयव है

समुच्चय {1, 2, 3, ... ,n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए |

मान लीजिए कि S = {a, b, c} तथा T = {1, 2, 3} है | S से T तक के निम्नलिखित फलनों F के लिए F^-1 ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है:

F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}

मान लीजिए कि S = {a, b, c} तथा T = {1, 2, 3} है | S से T तक के निम्नलिखित फलन F के लिए F^-1 ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है:

F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}

a * b = |a - b| तथा a o b = a, ∀ a, b ∈ R द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं * : R × R → R तथा o : R × R → R पर विचार कीजिए | सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं है, o साहचर्य है परंतु क्रमविनिमेय नहीं है | पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी a, b, c ∈ R के लिए a * (b o c) = (a * b) o (a * c) है | यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित होती है | क्या o संक्रिया * पर वितरित है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए |

किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए मान लीजिए कि * : P(X) × P(X) → P(X), जहाँ A * B = (A - B) ∪ (B - A), ∀A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है | सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय Φ, संक्रिया * का तत्समक है तथा P(X) के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि A^-1 = A.(संकेत : (A - Φ) ∪ (Φ - A)  = A. तथा (A - A) ∪ (A - A) = A * A = Φ).

निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {0, 1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए

a * b = `{(a+b","   "यदि"  a+b < 6), (a + b - 6","   "यदि"  a + b ≥ 6):}`

सिद्ध कीजिए कि शुन्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 - a, a का प्रतिलोम है |

मान लीजिए कि A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-4, -2, 0, 2} और f, g : A → B, क्रमशः f(x) = x² - x, x ∈ A तथा g(x) = `2|x - 1/2| - 1, x ∈ A` द्वारा परिभाषित फलन हैं | क्या f तथा g समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए | (संकेत : नोट कीजिए कि दो फलन f : A → B तथा g : A → B समान कहलाते हैं यदि f(a) = g(a) ∀ a ∈ A हो |)

यदि A = {1, 2, 3} हो तो ऐसे संबंध जिनमें अवयव (1, 2) तथा (1, 3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किंतु संक्रामक नहीं है, की संख्या है |

यदि A = {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता संबंधों की संख्या है |

मान लीजिए कि f : R → R है तब निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित चिन्ह फलन (Signum Function) है |

f(x) = `{(1"," x > 0), (0"," x = 0),(-1"," x < 0):}`

तथा g : R → R, g(x) = [x], द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ [x], x से कम या x के बराबर पूर्णांक है, तो क्या fog तथा gof, अंतराल [0, 1] में संपाती (coincide) हैं?

समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है |