Chapters
Chapter 2: प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन
Chapter 3: आव्यूह
Chapter 4: सारणिक
Chapter 5: सांतत्य और अवकलनीयता
Chapter 6: अवकलज के अनुप्रयोग
Chapter 7: समाकल
Chapter 8: स्माकलो के अनुप्रयोग
Chapter 9: अवकल समीकरण
Chapter 10: सदिश बीजगणित
Chapter 11: त्रिविमयि ज्यामिति
Chapter 12: रैखिक प्रोग्रामन
Chapter 13: प्रायिकता
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Chapter 2: प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन
NCERT solutions for Mathematics Exemplar Class 12 [गणित एक्सेम्पलर १२ वीं कक्षा] Chapter 2 प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन हल किए हुए उदाहरण [Pages 21 - 34]
लघु उत्तरीय
x = `sqrt(3)/2` के लिए cos-1x का मूख्य मान ज्ञात कीजिए।
`tan^-1sin((-pi)/2)` को परिकलित कीजिए ।
`cos^-1(cos (13pi)/6)` का मान ज्ञात कीजिए।
`tan^-1 (tan (9pi)/8)` का मान ज्ञात कीजिए।
tan (tan-1(-4)) को परिकलित कीजिए।
`tan^-1 sqrt(3) - sec^-1(-2)` का मान ज्ञात कीजिए।
`sin^-1 [cos(sin^-1 sqrt(3)/2)]` का मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि tan(cot-1x) = cot(tan-1x). कारण सहित बताइए कि क्या यह x के सभी मानों के लिए सत्य है।
`sec(tan^-1 y/2)` का मान ज्ञात कीजिए।
tan (cos–1x) का मान ज्ञात कीजिए और फिर `tan(cos^-1 8/17)` परिकलित कीजिए।
`sin[2cot^-1 ((-5)/12)]` का मान ज्ञात कीजिए।
`cos[sin^-1 1/4 + sec^-1 4/3]` का मान ज्ञात कीजिए।
दीर्घ उत्तरीय उत्तर
सिद्ध कीजिए कि `2sin^-1 3/5 - tan^-1 17/31 = pi/4`
सिद्ध कीजिए कि cot–17 + cot–18 + cot–118 = cot–13
tan 1 तथा tan–11 कौन सा बड़ा है?
`sin(2tan^-1 2/3) + cos(tan^-1 sqrt(3))` का मान ज्ञात कीजिए।
`tan^-1((1 - x)/(1 + x)) = 1/2 tan^-1x, x > 0` को x के लिए हल कीजिए।
x के वे मान ज्ञात कीजिए जो समीकरण sin–1x + sin–1(1 – x) = cos–1x को संतुष्ट करते हैं।
समीकरण `sin^-1 6x + sin^-1 6sqrt(3)x = - pi/2` को हल कीजिए।
दर्शाइए कि
`2tan^-1 {tan alpha/2 * tan(pi/4 - beta/2)} = tan^-1 (sin alpha cos beta)/(cosalpha + sinbeta)`
बहुविकल्पीय प्रश्न उदाहरण 21 से 41 तक
निम्न में से कौन सा tan-1 की मुख्य मान शाखा है?
`(- pi/2, pi/2)`
`[- pi/2, pi/2]`
`(- pi/2, pi/2) - {0}`
(0, π)
sec-1 की मुख्य मान शाखा है।
`[- pi/2, pi/2] - {0}`
`[0, pi] - {pi/2}`
(0, π)
`(- pi/2, pi/2)`
मुख्य मान शाखा के अतिरिक्त cos-1 की एक अन्य शाखा है।
`[pi/2, (3pi)/2]`
`[pi, 2pi]- {(3pi)/2}`
(0, π)
[2π, 3π]
`sin^-1 (cos((43pi)/5))` का मान है।
`(3pi)/5`
`(-7pi)/5`
`pi/10`
`- pi/10`
व्यंजक cos–1[cos (– 680°)] का मान है।
`(2pi)/9`
`(-2pi)/9`
`(34pi)/9`
`pi/9`
cot (sin–1x) का मान है।
`sqrt(1 + x^2)/x`
`x/sqrt(1 + x^2)`
`1/x`
`sqrt(1 - x^2)/x`
यदि किसी x ∈ R के लिए `tan^-1x = pi/10` है तो cot–1x का मान है।
`pi/5`
`(2pi)/5`
`(3pi)/5`
`(4pi)/5`
sin-1 2x का प्रांत है।
[0, 1]
[– 1, 1]
`[-1/2, 1/2]`
[–2, 2]
`sin^-1 ((-sqrt(3))/2)` का मुख्य मान है।
`- (2pi)/3`
`-pi/3`
`(4pi)/3`
`(5pi)/3`
(sin–1x)2 + (cos–1x)2 का क्रमश:अधिकतम तथा न्यूनतम मान है।
`(5pi^2)/4` तथा `pi^2/8`
`pi/2` तथा `(-pi)/2`
`pi^2/4` तथा `(-pi^2)/4`
`pi^2/4` तथा 0
यदि θ = sin–1 (sin (– 600°), तब θ का मान है।
`pi/3`
`pi/2`
`(2pi)/3`
`(-2pi)/3`
फलन y = sin–1 (- x2) का प्रांत है।
[0, 1]
(0, 1)
[–1, 1]
Φ
y = cos–1(x2 – 4) का प्रांत है।
[3, 5]
[0, π]
`[-sqrt(5), -sqrt(3)] ∩ [-sqrt(5), sqrt(3)]`
`[-sqrt(5), -sqrt(3)] ∪ [-sqrt(3), sqrt(5)]`
f(x) = sin–1x + cosx द्वारा परिभाषित फलन का प्रांत है।
[–1, 1]
[–1, π + 1]
`(– oo, oo)`
φ
sin (2 sin–1 (.6)) का मान है।
.48
.96
1.2
sin 1.2
यदि sin–1x + sin–1y = `pi/2` तब cos–1x + cos–1y का मान है।
`pi/2`
π
0
`(2pi)/3`
`tan(cos^-1 3/5 + tan^-1 1/4)` का मान है।
`19/8`
`8/19`
`19/12`
`3/4`
व्यंजक sin [cot–1 (cos (tan–11))] का मान है।
0
1
`1/sqrt(3)`
`sqrt(2/3)`
समीकरण tan–1x – cot–1x = `(1/sqrt(3))`
का कई हल नहीं है।
का केवल एक मात्र हल है।
के अनंत हल हैं।
के दो हल हैं।
यदि α ≤ 2 sin–1x + cos–1x ≤ β, तब
α = `(-pi)/2`, β = `pi/2`
α = 0, β = π
α = `(-pi)/2`, β = `(3pi)/2`
α = 0, β = 2π
tan2 (sec–12) + cot2 (cosec–13) का मान है।
5
11
13
15
NCERT solutions for Mathematics Exemplar Class 12 [गणित एक्सेम्पलर १२ वीं कक्षा] Chapter 2 प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन प्रश्नावली [Pages 35 - 40]
लघु उत्तरीय प्रश्न
`tan^-1 (tan (5pi)/6) +cos^-1(cos (13pi)/6)` का मान निकालिए।
`cos[cos^-1 ((-sqrt(3))/2) + pi/6]` का मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि `cot(pi/4 - 2cot^-1 3)` = 7
`tan^-1 (- 1/sqrt(3)) + cot^-1(1/sqrt(3)) + tan^-1(sin((-pi)/2))` का मान निकालिए।
`tan^-1 (tan (2pi)/3)` का मान निकालिए।
दर्शाइए कि `2tan^-1 (-3) = (-pi)/2 + tan^-1 ((-4)/3)`
समीकरण `tan^-1 sqrt(x(x + 1)) + sin^-1 sqrt(x^2 + x + 1) = pi/2` के वास्तविक हल ज्ञात कीजिए।
व्यंजक `sin(2tan^-1 1/3) + cos(tan^-1 2sqrt(2))` का मान निकालिए।
यदि 2 tan-1(cos ) = tan-1(2 cosec ), तो दिखाइए कि θ = `π /4`.
दर्शाइए कि `cos(2tan^-1 1/7) = sin(4tan^-1 1/3)`
समीकरण `cos(tan^-1x) = sin(cot^-1 3/4)` को हल कीजिए।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/((1 + x^2) - sqrt(1 - x^2))) = pi/2 + 1/2 cos^-1x^2`
`cos^-1 (3/5 cosx + 4/5 sin x)`, जहाँ x ∈ `[(-3pi)/4, pi/4]`, को सरलतम रूप में लिखिए।
सिद्ध कीजिए कि `sin^-1 8/17 + sin^-1 3/5 = sin^-1 77/85`
दर्शाइए कि `sin^-1 5/13 + cos^-1 3/5 = tan^-1 63/16`
सिद्ध कीजिए कि `tan^-1 1/4 + tan^-1 2/9 = sin^-1 1/sqrt(5)`
`4tan^-1 1/5 - tan^-1 1/239` का मान ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि `tan(1/2 sin^-1 3/4) = (4 - sqrt(7))/3` तथा इसका भी औचित्य बताइए कि दूसरा मान `(4 + sqrt(7))/3` को क्यों नहीं लिया गया है।
यदि a1, a2, a3,...,an एक समांतर श्रेढ़ी में है जिसका सार्व अंतर (common difference) d है तो निम्नलिखित व्यंजक का मान निकालिए।
`tan[tan^-1("d"/(1 + "a"_1 "a"_2)) + tan^-1("d"/(21 + "a"_2 "a"_3)) + tan^-1("d"/(1 + "a"_3 "a"_4)) + ... + tan^-1("d"/(1 + "a"_("n" - 1) "a""n"))]`
बहुविकल्पीय प्रश्न 20 से 37 तक
निम्न में से कौन सा cos-1x की मुख्य शाखा है?
`[(-pi)/2, pi/2]`
(0, π)
[0, π]
`(0, pi) - {pi/2}`
निम्नलिखित में से कौन सा cosec-1x की मूख्य शाखा है?
`((-pi)/2, pi/2)`
`[0, pi] - {pi/2}`
`[(-pi)/2, pi/2]`
`[(-pi)/2, pi/2] - {0}`
यदि 3 tan-1x + cot-1x = , तो x बराबर होता है।
0
1
-1
`1/2`
`sin^-1 [cos((33pi)/5)]` का मान है।
`(3pi)/5`
`(-7pi)/5`
`pi/10`
`(-pi)/10`
फलन cos-1(2x – 1) का प्रांत है।
[0, 1]
[–1, 1]
( –1, 1)
[0, π]
f(x) = `sin^-1 sqrt(x- 1)` द्वारा परिभाषित फलन का प्रांत है।
[1, 2]
[–1, 1]
[0, 1]
इनमें से कोई नहीं
यदि `cos(sin^-1 2/5 + cos^-1x)` = 0 , तो x का मान है।
`1/5`
`2/5`
0
1
sin (2 tan–1(0.75)) का मान है।
.75
1.5
0.96
sin 1.5
`cos^-1 (cos (3pi)/2)` का मान है।
`pi/2`
`(3pi)/2`
`(5pi)/2`
`(7pi)/2`
व्यंजक `2 sec^-1 2 + sin^-1 (1/2)` का मान है।
`pi/6`
`(5pi)/6`
`(7pi)/6`
1
यदि tan–1x + tan–1y = `(4pi)/5`, तो cot–1x + cot–1y बराबर है।
`pi/5`
`(2pi)/5`
`(3pi)/5`
π
यदि `sin^-1 ((2"a")/(1 + "a"^2)) + cos^-1 ((1 - "a"^2)/(1 + "a"^2)) = tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, जहाँ a, x ∈ ] 0, 1, तब x का मान बराबर है।
0
`"a"/2`
a
`(2"a")/(1 - "a"^2)`
`cot[cos^-1 (7/25)]` का मान है।
`25/24`
`25/7`
`24/25`
`7/24`
व्यंजक `tan (1/2 cos^-1 2/sqrt(5))` का मान है।
`2 + sqrt(5)`
`sqrt(5) - 2`
`(sqrt(5) + 2)/2`
`5 + sqrt(2)`
अब |x| ≤ 1, तब `2 tan^-1x + sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` बराबर है।
`4 tan^-1x`
0
`pi/2`
π
यदि cos–1α + cos–1β + cos–1γ = 3π, तब α(β + γ) + β(γ + α) + γ(α + β) बराबर है।
0
1
6
12
समीकरण `sqrt(1 + cos 2x) = sqrt(2) cos^-1 (cos x)` in `[pi/2, pi]` के वास्तविक हलों की संख्या है।
0
1
2
अनंत
यदि cos–1x > sin–1x, हो तो
`1/sqrt(2) < x ≤ 1`
`0 ≤ x < 1/sqrt2`
`-1 ≤ x < 1/sqrt2`
x > 0
38 से 48 तक रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
`cos^-1 (- 1/2)` की मूख्य शाखा ______ है।
`sin^-1 (sin (3pi)/5)` का मान ______ है।
यदि `cos(tan^-1x + cot^-1 sqrt(3))` = 0, तब x का मान ______ है।
`sec^-1 (1/2)` के मानों का समुच्चय ______ है।
`tan^-1 sqrt(3)` का मुख्य मान ______ है।
`cos^-1 (cos (14pi)/3)` का मान ______ है।
cos (sin–1x + cos–1x), |x| ≤ 1 का मान ______ है।
व्यंजक `tan((sin^-1x + cos^-1x)/2)`, जहाँ x = `sqrt(3)/2` है, का मान ______ है।
यदि x सभी मानों के लिए y = `2 tan^-1x + sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` तब ______ < y < ______ .
परिणाम `tan^1x - tan^-1y = tan^-1 ((x - y)/(1 + xy))` तभी सत्य है जब xy ______ है।
सभी x ∈ R के लिए cot-1(-x) का मान cot-1x के पद में ______ है।
प्रश्न 49 से 55 तक दिए गए कथन को सत्य या असत्य बताइए।
प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन का उनके संगत प्रांतों में प्रतिलोम फलन का अस्तित्व होता है।
सत्य
असत्य
व्यंजक (cos-1X)2 का मान Sec2x के बराबर है।
सत्य
असत्य
त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांतों का उनकी किसी भी शाखा ( आवश्यक नहीं कि मुख्य शाखा हो) में प्रतिबंधित किया जा सकता है ताकि उनका प्रतिलोम फलन प्राप्त हो सके।
सत्य
असत्य
θ कोण का न्यूनतम संख्यात्मक मान, चाहे धनात्मक हो या ऋणात्मक, को त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान कहते हैं।
सत्य
असत्य
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का आलेख उनके संगत त्रिकोणमितीय फलन के आलेख में x तथा y अक्ष का परस्पर विनिमय करके प्राप्त किया जा सकता है।
सत्य
असत्य
n का वह न्यूनतम मान जिसके लिए `tan^-1 "n"/pi > pi/4`, n ∈ N, के लिए सत्य हो, वह 5 है।
सत्य
असत्य
`Sin^-1 [cos (sin^-1 1/2)] "का मुख्य मान"` `pi/3` है।
सत्य
असत्य
Chapter 2: प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन
NCERT solutions for Mathematics Exemplar Class 12 [गणित एक्सेम्पलर १२ वीं कक्षा] chapter 2 - प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन
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