NCERT solutions for Mathematics Exemplar Class 12 [गणित एक्सेम्पलर १२ वीं कक्षा] chapter 1 - संबंध एव फलन [Latest edition]

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NCERT solutions for Mathematics Exemplar Class 12 [गणित एक्सेम्पलर १२ वीं कक्षा] chapter 1 - संबंध एव फलन - Shaalaa.com
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Chapter 1: संबंध एव फलन

हल किये हुए उदाहरणप्रश्नावली
हल किये हुए उदाहरण [Pages 3 - 11]

NCERT solutions for Mathematics Exemplar Class 12 [गणित एक्सेम्पलर १२ वीं कक्षा] Chapter 1 संबंध एव फलन हल किये हुए उदाहरण [Pages 3 - 11]

लघु उत्तरीय

हल किये हुए उदाहरण | Q 1 | Page 3

मान लीजिए कि A = {0, 1, 2, 3} तथा A में एक संबंध R निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित कीजिए:

R = {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 3)}

क्या R स्वतुल्य, सममित, संक्रामक है?

हल किये हुए उदाहरण | Q 2 | Page 3

समुच्चय A = {1, 2, 3}, के लिए एक संबंध निचे लिखे अनुसार परिभाषित कीजिए:

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3)}

उन क्रमित युग्मों को लिखिए जिनको R में जोड़ने से वह न्यूनतम (छोटे से छोटा) तुल्यता संबंध बन जाए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 3 | Page 3

मान लीजिए कि R = {(a, b) : संख्या 2, a – b को विभाजित करती है} द्वारा परिभाषित संबध R पूर्णांकों के समुच्चय Z में तुल्यता संबंध है।तुल्यता-वर्ग [0] लिखिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 4 | Page 3

मान लीजिए कि फलन f : R → R , f (x) = 4x – 1, ∀ x ∈ R द्वारा परिभषित है, तो सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।

हल किये हुए उदाहरण | Q 5 | Page 4

यदि f = {(5, 2), (6, 3)}, g = {(2, 5), (3, 6)}, तो f o g लिखिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 6 | Page 4

मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = 4x – 3 ∀ x ∈ R द्वारा परिभषित एक फलन है, तो f –1 लिखिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 7 | Page 4

क्या Z (पूर्णांकों का समुच्चय) में m * n = m – n + mn ∀ m, n ∈ Z द्वारा परिभाषित द्विआधारी-संक्रिया * कर्म -विनिमेय है? 

हल किये हुए उदाहरण | Q 8 | Page 4

यदि f = {(5, 2), (6, 3)} तथा g = {(2, 5), (3, 6)}, तो f तथा g के परिसर लिखिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 9 | Page 4

यदि A = {1, 2, 3} तथा f, g, A × A के उप-समुच्चय के संग निम्नलिखित प्रकार सूचित संबंध हैं

f = {(1, 3), (2, 3), (3, 2)}

g = {(1, 2), (1, 3), (3, 1)}

f तथा g में से कौन फलन है और क्यों?

हल किये हुए उदाहरण | Q 10 | Page 5

यदि A = {a, b, c, d} तथा f = {a, b), (b, d), (c, a), (d, c)} तो सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है तथा A से A पर आच्छादि है। f –1 भी ज्ञात कीजिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 11 | Page 5

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में m * n = g.c.d (m, n), m, n ∈ N द्वारा द्वि-आधारी- संक्रिया * परिभाषित कीजिए।क्या संक्रिया * कर्मविनिमेय तथा साहचर्य है?

दीर्घ उत्तरीय

हल किये हुए उदाहरण | Q 12 | Page 5

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में एक संबंध R निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित कीजिए:

∀ n, m ∈ N, nRm यदि n तथा में से प्रत्येक संख्या को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 5 से कम बचता है, अर्थात, 0, 1, 2, 3 तथा 4 में से कोई एक संख्या। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। साथ ही R द्वारा निर्धारित युगलत: असयुंक्त उप-समुच्चयों को भी ज्ञात कीजिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 13 | Page 6

सिद्ध कीजिए कि f(x) = `x/(x^2 + 1)`, ∀ ∈ + R, द्वारा परिभाषित फलन f : R → R न तो एकैकी है और न आच्छादी है।

हल किये हुए उदाहरण | Q 14 | Page 6

मान लीजिए कि f(x) = |x| + x तथा g(x) = x – x ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित f, g: R → R दो फलन हैं, तो f o g तथा g o f  ज्ञात कीजिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 15 | Page 7

मान लीजिए कि R वास्तविक संख्याओ का समुच्चय है तथा f : R → R एक फलन है, जो f (x) = 4x + 5 द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f–1 ज्ञात कीजिए।

हल किये हुए उदाहरण | Q 16. (i) | Page 8

मान लीजिए कि Q में परिभाषित * एक द्वि- आधारी संक्रिया है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सा द्विआधारी संक्रिया साहचर्य है:

a, b ∈ Q के लिए, a * b = a – b

हल किये हुए उदाहरण | Q 16. (ii) | Page 8

मान लीजिए कि Q में परिभाषित * एक द्वि- आधारी संक्रिया है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सा द्विआधारी संक्रिया साहचर्य है:

 a, b ∈ Q के लिए a * b = `"ab"/4` 

हल किये हुए उदाहरण | Q 16. (iii) | Page 8

मान लीजिए कि Q में परिभाषित * एक द्वि- आधारी संक्रिया है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सा द्विआधारी संक्रिया साहचर्य है:

a, b ∈ Q के लिए a * b = a – b + ab

हल किये हुए उदाहरण | Q 16. (iv) | Page 8

मान लीजिए कि Q में परिभाषित * एक द्वि- आधारी संक्रिया है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सा द्विआधारी संक्रिया साहचर्य है:

a, b ∈ Q के लिए a * b = ab2

वस्तुनिष्ठ प्रश्न उदाहरण 17 से 25 तक

हल किये हुए उदाहरण | Q 17 | Page 9

मान लीजिए कि R प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में एक संबंध है, जो nRm यदि n विभाजित करता है m को, द्वारा परिभाषित है, तो R

  • स्वतुल्य एवं सममित है।   

  • संक्रामक एवं सममित है। 

  • तुल्यता संबंध है। 

  • स्वतुल्य, संक्रामक है परंतु सममित नहीं है। 

हल किये हुए उदाहरण | Q 18 | Page 9

मान लीजिए कि L किसी समतल में स्थित सभी सरल रेखाओं के समुच्चय को निरूपित करता है। मान लीजिए कि एक संबंध R, नियम lRm यदि और केवल यदि l लम्ब है m पर, ∀ l, m ∈ L, द्वारा परिभाषित है। तब R

  • स्वतुल्य है।

  • सममित है।

  • संक्रामक है।

  • इनमें से कोई भी नहीं है।

हल किये हुए उदाहरण | Q 19 | Page 9

मान लीजिए कि N प्राकृत संख्याओं के समुच्चय है तथा f : N → N, f (n) = 2n + 3 ∀ n ∈ N द्वारा परिभाषित एक फलन है, तो f

  • आच्छादि है।

  • एकैक है।

  • एकैकी आच्छादि है।

  • इनमें से कोई भी नहीं है।

हल किये हुए उदाहरण | Q 20 | Page 9

समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B में 4 अवयव हैं, तो A से B में परिभाषित एकैक प्रतिचित्रणों की संख्या

  • 144

  • 12

  • 24

  • 64

हल किये हुए उदाहरण | Q 21 | Page 9

मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = sin x तथा g : R → R g (x) = x2 द्वारा परिभषित हैं, तो f o g

  • x2 sin x

  • (sin x)2

  • sin x2

  • `sin x /(x^2)`

हल किये हुए उदाहरण | Q 22 | Page 10

मान लीजिए कि f: R → R, f(x) = 3x – 4, द्वारा परिभषित हैं, तो f–1(x)

  • `(x + 4)/3`

  • `x/3 - 4`

  • 3x + 4

  • इनमें से कोई भी नहीं है।

हल किये हुए उदाहरण | Q 23 | Page 10

मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = x2 + 1 द्वारा परिभषित हैं, तो 17 तथा -3 के पूर्व प्रतिबिम्ब क्रमश: 

  • φ, {4, – 4}

  • {3, – 3}, φ

  • {4, – 4}, φ

  • {4, – 4, {2, – 2}

हल किये हुए उदाहरण | Q 24 | Page 10

वास्तविक संख्याओं x तथा y के लिए परिभाषित कीजिए कि xRy, यदि और केवल यदि x - y + `sqrt(2)` एक अपरिमेय संख्या है, तो संबंध R

  • स्वतुल्य है।

  • सममित है।

  • संक्रामक है।

  • इनमें से कोई भी नहीं है।

रिक्त स्थान को भरें उदाहरण 25 से 30 तक

हल किये हुए उदाहरण | Q 25 | Page 10

समुच्चय A = {1, 2, 3} पर विचार कीजिए तथा R, A में छोटे से छोटा तुल्यता संबंध है, तो R = ______

हल किये हुए उदाहरण | Q 26 | Page 10

f (x) = `sqrt(x^2  –3x +2)`  द्वारा परिभषित फलन f : R → R का प्रांत ______ है। 

हल किये हुए उदाहरण | Q 27 | Page 10

अवयवों वाले समुच्चय A पर विचार कीजिए। A से स्वयं A पर एकैकी आच्छादक फलनों की कुल संख्या ______ है।

हल किये हुए उदाहरण | Q 28 | Page 10

मान लीजिए कि Z पूर्णांकों का समुच्चय है तथा R, Z में परिभाषित एक संबंध इस प्रकार है aRb, कि यदि a – b भाज्य है 3 से, तो R समुच्चय Z को ______ युगलत: असंयुक्त उप-समुच्चयों में विभाजन करता है।

हल किये हुए उदाहरण | Q 29 | Page 11

मान लीजिए कि R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा R में एक द्वि-आधारी संक्रिया * इस प्रकार परिभाषित है कि a * b = a + b – ab ∀ a, b ∈ R. तो द्वि-आधारी संक्रिया * के लिए तत्समक अवयव ______ है।

उदाहरण 30 से 34 तक प्रत्येक में प्रदत्त कथन सत्य हैं या असत्य हैं -

हल किये हुए उदाहरण | Q 30 | Page 11

समुच्चय A = {1, 2, 3} तथा R = {(1, 2), (1, 3)} पर विचार कीजिए। R एक संक्रामक संबंध है।

  • सत्य 

  • असत्य

हल किये हुए उदाहरण | Q 31 | Page 11

मान लीजिए कि A एक परिमित समुच्चय है, तो A से स्वयं A में प्रत्येक एकैक फलन आच्छादी नहीं है।

  • सत्य 

  • असत्य

हल किये हुए उदाहरण | Q 32 | Page 11

समुच्चय A, B तथा C के लिए, मान लीजिए कि f : A → B, g : B → C फलन इस प्रकार के हैं कि फलन g o f एकैक है तो f तथा g दोनों ही एकैक फलन हैं।

  • सत्य 

  • असत्य

हल किये हुए उदाहरण | Q 33 | Page 11

समुच्चय A, B तथा C के लिए, मान लीजिए कि f : A → B, g : B → C फलन इस प्रकार के हैं कि फलन g o f आच्छादी है तो f तथा g भी आच्छादी हैं। 

  • सत्य 

  • असत्य

हल किये हुए उदाहरण | Q 34 | Page 11

मान लीजिए कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, तो a * b = a + b, ∀ a, b ∈ N द्वारा N में परिभाषित द्वि-आधारी संक्रिया * के लिए तत्समक अवयव है।

  • सत्य 

  • असत्य

प्रश्नावली [Pages 11 - 17]

NCERT solutions for Mathematics Exemplar Class 12 [गणित एक्सेम्पलर १२ वीं कक्षा] Chapter 1 संबंध एव फलन प्रश्नावली [Pages 11 - 17]

लघु उत्तरीय

प्रश्नावली | Q 1 | Page 11

मान लीजिए कि A = {a, b, c} तथा A में परिभाषित संबंध R निम्नलिखित है:

R = {(a, a), (b, c), (a, b)}. तो उन क्रमित युग्मों की, कम से कम, संख्या लिखिए, जिनको R में जोड़ने से R स्वतुल्य तथा संक्रामक बन जाता है।

प्रश्नावली | Q 2 | Page 11

मान लीजिए कि D, f(x) = `sqrt(25 - x^2)` द्वारा परिभाषित, वास्तविक मान फलन f का प्रांत है तो D को लिखिए।

प्रश्नावली | Q 3 | Page 12

मान लीजिए कि f , g : R → R क्रमश: f (x) = 2x + 1 तथा g (x) = x2 – 2, ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित हैं, तो g o f ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली | Q 4 | Page 12

मान लीजिए कि f: R → R फलन f(x) = 2x – 3 ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित है। f–1 लिखिए।

प्रश्नावली | Q 5 | Page 12

यदि A = {a, b, c, d} तथा फलन f = {(a, b), (b, d), (c, a), (d, c)} तो f –1 लिखिए।

प्रश्नावली | Q 6 | Page 12

यदि f : R → R, f (x) = x2 – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है, तो f (f (x)) लिखिए।

प्रश्नावली | Q 7 | Page 12

क्या g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} एक फलन है? यदि g, g (x) = αx + β द्वारा वर्णित है, तो α तथा β का मान क्या निर्धारित होना चाहिए?

प्रश्नावली | Q 8 (i) | Page 12

क्या क्रमित युग्मों का निम्लिखित समुच्चय, फलन हैं? यदि ऐसा है, तो जाँच कीजिए कि प्रतिचित्रण एकैक अथवा आच्छादि हैं कि नहीं हैं।

{(x, y): x एक व्यक्ति है, y माँ है x की}

प्रश्नावली | Q 8 (ii) | Page 12

क्या क्रमित युग्मों का निम्लिखित समुच्चय, फलन हैं? यदि ऐसा है, तो जाँच कीजिए कि प्रतिचित्रण एकैक अथवा आच्छादि हैं कि नहीं हैं।

{(a, b): a एक व्यक्ति है, b पूर्वज है a का}

प्रश्नावली | Q 9 | Page 12

यदि प्रतिचित्रण f तथा g क्रमश: f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)} तथा  g = {(2, 3), (5, 1), (1, 3)} द्वारा दत्त हैं, तो f o g लिखिए।

प्रश्नावली | Q 10 | Page 12

मान लीजिए C सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। सिद्ध कीजिए कि f(z) = |z|, z C द्वारा दिया गया प्रतिचित्रण f: C → R न तो एकैकी है और न ही आच्छादक (आच्छादि) है।

प्रश्नावली | Q 11 | Page 12

मान लीजिए फलन f: R → R, f(x) = cosx, ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक (आच्छादि) है।

प्रश्नावली | Q 12 (i) | Page 12

मान लीजिए कि X = {1, 2, 3} तथा Y = {4, 5}। ज्ञात कीजिए कि क्या X ×Y के निम्नलिखित उपसमुच्चय X से Y में फलन हैं या नहीं हैं।

f = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (3, 5)}

प्रश्नावली | Q 12 (ii) | Page 12

मान लीजिए कि X = {1, 2, 3} तथा Y = {4, 5}। ज्ञात कीजिए कि क्या X ×Y के निम्नलिखित उपसमुच्चय X से Y में फलन हैं या नहीं हैं।

g = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}

प्रश्नावली | Q 12 (iii) | Page 12

मान लीजिए कि X = {1, 2, 3} तथा Y = {4, 5}। ज्ञात कीजिए कि क्या X ×Y के निम्नलिखित उपसमुच्चय X से Y में फलन हैं या नहीं हैं।

h = {(1,4), (2, 5), (3, 5)}

प्रश्नावली | Q 12 (iv) | Page 12

मान लीजिए कि X = {1, 2, 3} तथा Y = {4, 5}। ज्ञात कीजिए कि क्या X ×Y के निम्नलिखित उपसमुच्चय X से Y में फलन हैं या नहीं हैं।

k = {(1,4), (2, 5)}

प्रश्नावली | Q 13 | Page 12

यदि फलन f: A → B तथा g: B → A, g o f = IA को संतुष्ट करता हैं, तो सिद्ध कीजिए कि f एकैक है तथा g आच्छादक है।

प्रश्नावली | Q 14 | Page 12

मान लीजिए f: R → R f(x) = `1/(2 - cosx)` x R द्वारा परिभाषित एक फलन है। तो , f का परिसर ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली | Q 15 | Page 12

मान लीजिए n एक निश्चित (स्थिर) धन पूर्णांक है। Z में एक संबंध R निम्लिखित प्रकार से परिभाषित कीजिए : ∀ a, b ∈ Z, aRb यदि और केवल यदि a - b, भाज्य है n से। सिद्ध किजिए कि R एक तुल्यता संबंध है।

दीर्घ उत्तरीय

प्रश्नावली | Q 16. (a) | Page 13

यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A में निम्लिखित गुण वाले संबंध को परिभाषित कीजिए:

स्वतुल्य तथा संक्रामक हों किंतु सममित नहीं हों।

प्रश्नावली | Q 16. (b) | Page 13

यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A में निम्लिखित गुण वाले संबंध को परिभाषित कीजिए:

सममित हों परन्तु न तो स्वतुल्य हों और न संक्रामक हों।

प्रश्नावली | Q 16. (c) | Page 13

यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A में निम्लिखित गुण वाले संबंध को परिभाषित कीजिए:

स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हों।

प्रश्नावली | Q 17 | Page 13

मान लीजिए कि R, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित एक संबंध है।

R = {(x, y): x ∈ N, y ∈ N, 2x + y = 41}। संबंध R का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए। साथ ही सत्यापित (जाँच) कीजिए कि क्या R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

प्रश्नावली | Q 18. (a) | Page 13

दिया हुआ है कि A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6, 7}। निम्नलिखित में से उदाहरण की रचना कीजिए :

A से B में एक एकैक प्रतिचित्रण।

प्रश्नावली | Q 18. (b) | Page 13

दिया हुआ है कि A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6, 7}। निम्नलिखित में से उदाहरण की रचना कीजिए :

A से B में एक ऐसा प्रतिचित्रण, जो एकैक नहीं है।

प्रश्नावली | Q 18. (c) | Page 13

दिया हुआ है कि A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6, 7}। निम्नलिखित में से उदाहरण की रचना कीजिए :

B से A में एक प्रतिचित्रण।

प्रश्नावली | Q 19. (i) | Page 13

एक ऐसे प्रतिचित्रण का उदाहरण दीजिए जो -

एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है।

प्रश्नावली | Q 19. (ii) | Page 13

एक ऐसे प्रतिचित्रण का उदाहरण दीजिए जो -

एकैकी नहीं है किंतु आच्छादक है।

प्रश्नावली | Q 19. (iii) | Page 13

एक ऐसे प्रतिचित्रण का उदाहरण दीजिए जो -

न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

प्रश्नावली | Q 20 | Page 13

मान लीजिए कि A = R – {3}, B = R – {1}, मान लीजिए कि f : A → B, f (x) = `(x - 2) /(x - 3)` ∀ x ∈ A द्वारा परिभाषित है, तो सिद्ध कीजिए कि f एकैकी आच्छादी है।

प्रश्नावली | Q 21. (i) | Page 13

मान लीजिए A = [-1, 1]। तो विचार कीजिए कि क्या A में परिभाषित निम्नलिखित फलन एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादी हैं:

f(x) = `x/2`

प्रश्नावली | Q 21. (ii) | Page 13

मान लीजिए A = [-1, 1]। तो विचार कीजिए कि क्या A में परिभाषित निम्नलिखित फलनएकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादी हैं:

g(x) = |x|

प्रश्नावली | Q 21. (iii) | Page 13

मान लीजिए A = [-1, 1]। तो विचार कीजिए कि क्या A में परिभाषित निम्नलिखित फलन एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादी हैं:

h(x) = x|x|

प्रश्नावली | Q 21. (iv) | Page 13

न लीजिए A = [-1, 1]। तो विचार कीजिए कि क्या A में परिभाषित निम्नलिखित फलन एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादी हैं:

k(x) = x2 

प्रश्नावली | Q 22. (i) | Page 13

निम्नलिखित में से N में एक संबंध परिभाषित करते है:

x बड़ा है y से, x, y ∈ N 

निर्धारित कीजिए कि उपर्युक्त संबंधो में से कौन-से संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं।

प्रश्नावली | Q 22. (ii) | Page 13

निम्नलिखित में से N में एक संबंध परिभाषित करते है:

x + y = 10, x, y ∈ N

निर्धारित कीजिए कि उपर्युक्त संबंधो में से कौन-से संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं।

प्रश्नावली | Q 22. (iii) | Page 13

निम्नलिखित में से N में एक संबंध परिभाषित करते है:

x y किसी पूर्णाक का वर्ग है,  x, y ∈ N

निर्धारित कीजिए कि उपर्युक्त संबंधो में से कौन-से संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं।

प्रश्नावली | Q 22. (iv) | Page 13

निम्नलिखित में से N में एक संबंध परिभाषित करते है:

x + 4y = 10, x, y ∈ N

निर्धारित कीजिए कि उपर्युक्त संबंधो में से कौन-से संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं।

प्रश्नावली | Q 23 | Page 14

मान लीजिए A = {1, 2, 3, ... 9} तथा A ×A में (a, b)] (c, d) के लिए (a, b) R (c, d) यदि और केवल यदि a + d = b + c द्वारा परिभाषित R एक संबंध हैं। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है तथा तुल्यता-वर्ग [(2, 5)] भी प्राप्त (ज्ञात) कीजिए।

प्रश्नावली | Q 24 | Page 14

परिभाषा का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि फलन f: A→ B व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि f एकैकी तथा आच्छादक दोनो है।

प्रश्नावली | Q 25. (i) | Page 14

फलन f , g: R → R क्रमशः f(x) = x2 + 3x + 1 तथा g(x) = 2x - 3 द्वारा परिभाषित हैं, तो f o g ज्ञात कीजिए:

प्रश्नावली | Q 25. (ii) | Page 14

फलन f , g: R → R क्रमशः f(x) = x2 + 3x + 1 तथा g(x) = 2x - 3 द्वारा परिभाषित हैं, तो g o f ज्ञात कीजिए:

प्रश्नावली | Q 25. (iii) | Page 14

फलन f , g: R → R क्रमशः f(x) = x2 + 3x + 1 तथा g(x) = 2x - 3 द्वारा परिभाषित हैं, तो f o f ज्ञात कीजिए:

प्रश्नावली | Q 25. (iv) | Page 14

फलन f , g: R → R क्रमशः f(x) = x2 + 3x + 1 तथा g(x) = 2x - 3 द्वारा परिभाषित हैं, तो g o g ज्ञात कीजिए:

प्रश्नावली | Q 26. (i) | Page 14

मान लीजिए कि एक द्वि-आधारीय संक्रिया * Q में परिभाषित है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित द्वि-आधारी संक्रिया में से कौन-कौन सी संक्रिया क्रम-विनिमेय हैं?

a * b = a – b ∀ a, b ∈ Q

प्रश्नावली | Q 26. (ii) | Page 14

मान लीजिए कि एक द्वि-आधारीय संक्रिया * Q में परिभाषित है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित द्वि-आधारी संक्रिया में से कौन-कौन सी संक्रिया क्रम-विनिमेय हैं?

a * b = a2 + b2 ∀ a, b ∈ Q

प्रश्नावली | Q 26. (iii) | Page 14

मान लीजिए कि एक द्वि-आधारीय संक्रिया * Q में परिभाषित है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित द्वि-आधारी संक्रिया में से कौन-कौन सी संक्रिया क्रम-विनिमेय हैं?

a * b = a + ab ∀ a, b ∈ Q

प्रश्नावली | Q 26. (iv) | Page 14

मान लीजिए कि एक द्वि-आधारीय संक्रिया * Q में परिभाषित है। ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित द्वि-आधारी संक्रिया में से कौन-कौन सी संक्रिया क्रम-विनिमेय हैं?

a * b = (a – b)2 ∀ a, b ∈ Q

प्रश्नावली | Q 27 | Page 14

मान लीजिए कि R में द्वारा द्वि-आधारी *, a * b = 1 + ab, ∀ a, b ∈ R तो संक्रिया *

  • क्रम-विनिमेय है किंतु साहचर्य नहीं है।

  • साहचर्य है किंतु क्रम-विनिमेय नहीं है।

  • न तो क्रम-विनिमेय है और न साहचर्य है।

  • क्रम-विनिमेय तथा साहचर्य दोनों ही है।

वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न 28 से 47 तक

प्रश्नावली | Q 28 | Page 14

मान लीजिए कि T, यूक्लिडिय समतल में, सभी त्रिभुजों का समुच्चय है तथा मान लीजिए कि T में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि aRb, यदि a सर्वांगसम है b के, ∀ a, b ∈ T, तो R ______

  • स्वतुल्य है किंतु संक्रामक नहीं हैं।

  • संक्रामक है किंतु सममित नहीं हैं।

  • तुल्यता संबंध है।

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्नावली | Q 29 | Page 14

किसी परिवार में बच्चों के अरिक्त समुच्चय तथा aRb, यदि a भाई है b का, द्वारा परिभाषित संबंध R पर विचार कीजिए, तो R ______

  • सममित है किन्तु संक्रामक नहीं हैं।

  • संक्रामक है किन्तु सममित नहीं हैं।

  • न तो सममित है और न संक्रामक है।

  • सममित तथा संक्रामक दोनों ही है।

प्रश्नावली | Q 30 | Page 14

समुच्चय A = {1, 2, 3} में तुल्यता संबंधों की अधिकतम संख्या ______ है।

  • 1

  • 2

  • 3

  • 5

प्रश्नावली | Q 31 | Page 15

यदि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 2)} द्वारा परिभाषित एक संबंध R है, तो R ______ है।

  • स्वतुल्य है।

  • संक्रामक है।

  • सममित है।

  • इनमें से कोई भी नहीं है।

प्रश्नावली | Q 32 | Page 15

मान लीजिए कि हम R में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित करें aRb यदि a ≥ b, तो R _________ है।

  • एक तुल्यता संबंध है।

  • स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं हैं।

  • सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं हैं।

  • न तो संक्रामक है और न स्वतुल्य है किंतु सममित है।

प्रश्नावली | Q 33 | Page 15

मान लीजिए कि A = {1, 2, 3} संबंध R = {1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1,3)}, पर विचार कीजिए, तो R _________ है।

  • स्वतुल्य है किंतु सममित नहीं हैं।

  • स्वतुल्य है किंतु संक्रामक नहीं हैं।

  • सममित तथा संक्रामक है।

  • न तो सममित है और न संक्रामक है।

प्रश्नावली | Q 34 | Page 15

Q ~ {0} में  a * b = ` (ab)/2` ∀ a, b ∈ Q ~ {0} प्रकार से परिभाषित द्वि-आधारी संक्रिया * का (के लिए) तत्सम अवयव ______ है।

  • 1

  • 0

  • 2

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्नावली | Q 35 | Page 15

यदि समुच्चय A में 5 अवयव हैं तथा समुच्चय B में 6 अवयव हैं, तो A से B में एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रणों की संख्या ______ है।

  • 720  है।

  • 120  है।

  • 0  है।

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्नावली | Q 36 | Page 15

माना लीजिए कि A = {1, 2, 3, ...n} तथा B = {a, b}। तो A से B में आच्छादी प्रतिचित्रों (प्रतिचित्रणों) की संख्या _________ है।

  • nP2 है।

  • 2n – 2 है।

  • 2n – 1 है।

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्नावली | Q 37 | Page 15

मान लीजिए f: R → R, f(x) = `1/x` x ∈ R द्वारा परिभाषित है, तो f ______ है।

  • एकैकी है।

  • आच्छादक है।

  • एकैकी आच्छादक है।

  • f परिभाषित नहीं है।

प्रश्नावली | Q 38 | Page 15

मान लीजिए कि f: R → R f(x) = 3x2 - 5 द्वारा तथा g: R → R g(x) = `x/(x^2 + 1)` द्वारा परिभाषित है, तो g o f ______ है।

  • `(3x^2 - 5)/(9x^4 - 30x^2 + 26)`

  • `(3x^2 - 5)/(9x^4 - 6x^2 + 26)`

  • `(3x^2)/(x^4 + 2x^2 - 4)`

  • `(3x^2)/(9x^4 + 30x^2 - 2`

प्रश्नावली | Q 39 | Page 16

Z से Z में निम्नलिखित फलनों से कौन-से एकैकी आच्छादी हैं?

  • f(x) = x3 

  • f(x) = x + 2

  • f(x) = 2x + 1

  • f(x) = x2 + 1

प्रश्नावली | Q 40 | Page 16

मान लीजिए f: R → R f(x) = x3 + 5 द्वारा परिभाषित एक फलन है, तो f–1(x)  ______ है।

  • `(x + 5)^(1/3)`

  • `(x - 5)^(1/3)`

  • `(5 - x)^(1/3)`

  • 5 – x

प्रश्नावली | Q 41 | Page 16

मान लीजिए f: A → B तथा g: B → C एकैकी आच्छादी फलन हैं, तो (g o f)-1 ______ है।

  • f –1 o g–1

  • f o g

  • g–1 o f–1

  •  g o f

प्रश्नावली | Q 42 | Page 16

मान लीजिए कि f: R - `{3/5}` → R, f(x) = `(3x + 2)/(5x - 3)` द्वारा परिभाषित है, तो ______

  • f–1(x) = f(x)

  • f–1(x) = – f(x)

  • (f o f)x = – x

  • f–1(x) = `1/19` f(x)

प्रश्नावली | Q 43 | Page 16

मान लीजिए f: [0, 1] → [0, 1] f(x) =`[(x, "यदि"  x  "परिमेय है")/(1-x  "यदि"  x  "अपरिमेय है")]`

द्वारा परिभाषित है, तो (f o f) x ______ है।  

  • अचर है। 

  • 1 + x है। 

  • x है। 

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्नावली | Q 44 | Page 16

मान लीजिए f: `[2, oo)` → R f(x) = x2 - 4x + 5 द्वारा परिभाषित फलन है, तो f का परिसर ______ है।

  • R है।

  • `[1, oo)` है।

  • `[4, oo)` है।

  • `[5, oo)` है।

प्रश्नावली | Q 45 | Page 16

मान लीजिए f: N → R f(x) = `(2x - 1)/2` द्वारा परिभाषित एक फलन है तथा g: Q → R g(x) = x + 2 द्वारा परिभाषित एक अन्य फलन है। तो (g o f) ` 3/2` ______ है।

  • 1 है।

  • 1 है।

  • `7/2`

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्नावली | Q 46 | Page 16

मान लीजिए f: R → R,  f(x) = `{{:(2x",", x > 3),(x^2",", 1 < x ≤ 3),(3x",", x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित है, तो f (-1) + f (2) + f (4) ______ है।

  • 9  है।

  • 14  है।

  • 5  है।

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्नावली | Q 47 | Page 17

मान लीजिए कि f: R → R f(x) = tan x द्वारा दत्त है, तो f-1(1) _______ है।

  • `pi/4` है।

  • `{"n"  pi + pi/4 : "n" ∈ "Z"}` है।

  • का अस्तित्व नहीं है।

  • इनमें से कोई नहीं है।

प्रश्न 48 से 52 तक के रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए -

प्रश्नावली | Q 48 | Page 17

मान लीजिए कि N में एक संबंध R, aRb यदि 2a + 3b = 30 द्वारा परिभाषित है, तो R = ______।

प्रश्नावली | Q 49 | Page 17

मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में एक संबंध R = {(a, b) : |a2 - b2| <8 द्वारा परिभाषित है, तो R _______ द्वारा व्यक्त है।

प्रश्नावली | Q 50 | Page 17

मान लीजिए कि f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1) तथा g = {(2, 3), (5, 1), (1, 3)}। तो g o f = ______ तथा f o g = ______।

प्रश्नावली | Q 51 | Page 17

मान लीजिए कि f: R → R, f(x) = `x/sqrt(1 + x^2)` द्वारा परिभाषित है, तो ( f o f o f ) (x) = ______।

प्रश्नावली | Q 52 | Page 17

यदि f(x) = (4 - (x - 7)3}, तो f–1(x) = ______।

प्रश्न 53 से 63 तक के कथन सत्य या असत्य बताए।

प्रश्नावली | Q 53 | Page 17

मान लीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3} में परिभाषित एक संबंध R = {(3, 1), (1, 3), (3, 3), तो R सममित, संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 54 | Page 17

मान लीजिए f: R → R, f(x) = sin (3x+2) ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित एक फलन है। तो f व्युत्क्रमणीय है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 55 | Page 17

प्रत्येक संबंध जो सममित तथा संक्रामक है, स्वतुल्य भी है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 56 | Page 17

एक पूर्णांक m एक अन्य पूर्णांक n से संबंधित कहालाता है, यदि m, एक पूर्णांकीय गुणज है n का। Z में इस प्रकार का संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक होता है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 57 | Page 17

मान लीजिए A = {0, 1} और N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, तो f(2n – 1) = 0, f(2n) = 1, ∀ n∈ N द्वारा परिभाषित प्रतिचित्रण f: N → A आच्छादक है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 58 | Page 17

समुच्चय A = {1, 2, 3} में R = {{1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3)} प्रकार से परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 59 | Page 17

फलनों का संयोजन क्रम-विनिमेय होता है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 60 | Page 17

फलनों का संयोजन साहचर्य होता है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 61 | Page 17

प्रत्येक फलन व्युत्क्रमणीय होता है।

  • सत्य

  • असत्य

प्रश्नावली | Q 62 | Page 17

किसी समुच्चय में किसी द्वी-आधारी संक्रिया का तत्समक अवयव सदैव होता है।

  • सत्य

  • असत्य

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Chapter 1: संबंध एव फलन

हल किये हुए उदाहरणप्रश्नावली
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