NCERT solutions for Mathematics Class 9 [गणित कक्षा ९ वीं] chapter 7 - त्रिभुज [Latest edition]

चतुर्भुज ABCD में AC = AD है और AB, कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि △ABC ≌ △ABD है।
BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि:

1. △ABD ≌ △BAC
2. BD = AC
3. ∠ABD = ∠BAC

एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखंड हैं। (देखिए आकृति)। दशाईए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।

l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि: △ABC ≌ △CDA है।

रेखा L कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा L पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि:

1. △ APB ≌ △ AQB
2. BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।

AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:

1. △DAP ≌ △EBP
2. AD = BE

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि:

1. △AMC ≌ △BMD
2. ∠DBC एक समकोण है।
3. △DBC ≌ △ACB
4. CM = `1/2` AB

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को मिलाया गया है। दर्शाइए कि:

1. OB = OC
2. AO कोण A को समद्विभाजित करता है।

△ABC में, AD भुजा BC का लंब समद्विभाजक है। (देखिए आकृति) दर्शाइए △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।

ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमशः शीर्षलंब BE और CF खींचे गए हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि ये शीर्षलंब बराबर हैं।

ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति) दर्शाइए कि

1. △ABE ≌ △ACF
2. AB = AC, अर्थात् △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
∠ABD = ∠ACD है।

ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।

ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।

△ABC और △DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि:

1. △ ABD ≌ △ ACD
2. △ ABP ≌ △ ACP
3. AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
4. AP रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।

AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि:

1. AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
2. AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

1. ∆ABM ≅ ∆PQN
2. ∆ ABC ≅ ∆PQR

ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।

दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।

आकृति में, ∆ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदुओं P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, ∠PBC < ∠QCB, है। दर्शाइए कि: AC > AB है।

आकृति में, ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है। दर्शाइए कि: AD < BC है।

AB और CD एक चतुर्भुज ABCD की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है।

आकृति में, PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ∠PSR > ∠PSQ है।

दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लंब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यांतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो ∆ABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

किसी त्रिभुज के अभ्यांतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ हो।

एक बड़े पार्क में लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केंद्रित हैं (देखिए आकृति)।

A: जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं।

B: जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है।

C: जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।

एक आइसक्रीम का स्टाल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके?

(संकेत: स्टॉल को A, B और C से समान दूरी पर होना चाहिए)

षट्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों (देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?