NCERT solutions for Mathematics Class 11 [गणित कक्षा ११ वीं] chapter 9 - अनुक्रम तथा श्रेणी [Latest edition]

निम्नलिखित अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:

a_n = n(n + 2)

निम्नलिखित अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:

a_n = `"n"/("n"+ 1)`

निम्नलिखित अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:

a_n = 2ⁿ

निम्नलिखित अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:

a_n = `(2"n" - 3)/6`

निम्नलिखित अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:

a_n = (−1)ⁿ⁻¹ 5ⁿ⁺¹ 

निम्नलिखित अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:

a_n = `"n"("n"^2 + 5)/4`

निम्नलिखित अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका n वाँ पर दिया गया है:

a_n = 4n – 3; a₁₇, a₂₄

निम्नलिखित अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका n वाँ पर दिया गया है:

a_n = `"n"^2/2^"n"`; a₇

निम्नलिखित अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका n वाँ पर दिया गया है:

a_n = (−1)ⁿ⁻¹ n³; a₉

निम्नलिखित अनुक्रम का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका n वाँ पर दिया गया है:

a_n = `("n"("n" - 2))/("n" + 3)`; a₂₀

निम्नलिखित अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:

a₁ = 3, a_n = 3a_n−1 + 2 सभी n > 1 के लिए

निम्नलिखित अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:

a₁ = −1, a_n = `"a"_("n"-1)/"n"`, जहाँ n ≥ 2

निम्नलिखित अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:

a₁ = a₂ = 2, a_n = a_n−1 −1, जहाँ n > 2

Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:

1 = a₁ = a₂ तथा a_n = a_n−1 + a_n−2, n > 2 तो `"a"_("n" + 1)/"a"_"n"` ज्ञात कीजिए, जबकि n = 1, 2, 3, 4, 5

1 से 2001 तक के विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।

100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।

किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पाँच पदों का योगफल, अगले पाँच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20वाँ पद −112 है।

समांतर श्रेणी −6, `-11/2`, −5, .....  के कितने पदों का योगफल –25 है?

किसी समांतर श्रेणी का pवाँ पद `1/"q"` तथा qवाँ पद `1/"p"`, हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग `1/2 ("pq" + 1)` होगा जहाँ p ≠ q

यदि किसी समांतर श्रेणी 25, 22, 19, …... के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।

उस समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका k वाँ पद 5k + 1 है।

यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल (pn + qn²), है, जहाँ p तथा q अचर हों तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, तथा c, हो तो सिद्ध कीजिए कि: `"a"/"p"("q" - "r") + "b"/"q"("r" - "p") + "c"/"r"("p" - "q") = 0`

किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m² : n² है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) है।

यदि किसी समांतर श्रेणी के nवें पदों का योगफल 3n² + 5n हैं तथा इसका mवाँ पद 164 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए।

5 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम समांतर श्रेणी बन जाए।

यदि `("a"^"n" + "b"^"n")/("a"^("n"- 1) + "b"^("n" - 1))`, a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो तो n का मान ज्ञात कीजिए।

m संख्याओं को 1 तथा 31 के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और 7वीं एवं (m – 1) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है। तो m का मान ज्ञात कीजिए।

एक व्यक्ति ॠण का भुगतान 100 रुपये की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपये प्रति माह बढ़ता है तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?

एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत: कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

गुणोत्तर श्रेणी `5/2, 5/4, 5/8, ......` का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।

उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।

किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5वाँ, 8वाँ तथा 11वाँ पद क्रमशः p, q तथा s हैं तो दिखाइए कि q² = ps.

किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद –3 है तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम का कौन सा पद: `2, 2sqrt2, 4, ......; 128` है?

अनुक्रमों का कौन सा पद: `sqrt3, 3, 3 sqrt3`, ….; 729 है?

अनुक्रमों का कौन सा पद: `1/3, 1/9, 1/27, .....; 1/19683` है?

x के किस मान के लिए संख्याएँ `-2/7, "x", (-7)/2` गुणोत्तर श्रेणी में हैं?

निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।

0.15, 0.015, 0.0015, ….., 20 पदों तक

निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।

`sqrt7, sqrt21, 3sqrt7, .... 20` पदों तक

निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।

1, −a, a², −a³, ...... n पदों तक (यदि a ≠ –1)

निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।

x³, x⁵, x⁷, ….. n पदों तक (यदि x ≠ ± 1)

मान ज्ञात कीजिए `sum_("k" = 1)^11  (2 + 3^"k")`

एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल `39/10` है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।

गुणोत्तर श्रेणी 3, 3², 3³, …. के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।

किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है तो S₇ ज्ञात कीजिए?

एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल –4 है तथा 5वाँ पद तृतीय पद का 4 गुना है।

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

अनुक्रम 8, 88, 888, 8888, …. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, तथा 128, 32, 8, 2, `1/2` के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।

दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar², … ar^{n – 1} तथा A, AR, AR², …. AR^{n – 1} के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए। 

ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि a^q−r b^r−p c^p−q = 1

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमशः a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P² = (ab)ⁿ

दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात `1/"r"^"n"` है।

यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²

ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।

n का मान ज्ञात कीजिए ताकि `("a"^("n"+ 1) + "b"^("n" + 1))/("a"^"n" + "b"^"n")`, a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।

दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ `(3 + 2sqrt2) : (3 - 2sqrt2)` के अनुपात में हैं।

यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ  `"A" ± sqrt(("A" + "G")("A" - "G"))` हैं।

किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घंटे के पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा nवें घंटों बाद क्या होगी?

500 रुपए धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए?

यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 तथा 5 हैं, तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ….

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + …..

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

3 × 1² + 5 × 2² + 7 × 3² + …… 

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

`1/(1 xx 2) + 1/(2 xx3) + 1/(3 xx 4) + .......`

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

5² + 6² + 7² + …. + 20²

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 + …..

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + …..

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है:

n(n + 1)(n + 4)

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है:

n² + 2ⁿ

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है:

(2n – 1)²

दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेणी के (m + n)वें तथा (m – n)वें पदों का योग mवें पद का दुगुना है।

यदि किसी समांतर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

माना कि किसी समांतर श्रेणी के n, 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः S₁, S₂ तथा S₃ है तो दिखाइए कि S₃ = 3(S₂ – S₁)

200 और 400 के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित हों।

1 से 100 तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों।

दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।

सभी x, y ϵ N के लिए f(x + y) = f(x). f(y) को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1) = 3 एवं `sum_("x" = 1)^ "n"` f(x) = 120 तो n का मान ज्ञात करो।

गुणोत्तर श्रेणी के कुछ पदों का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः 5 तथा 2 हैं। अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

एक समांतर श्रेणी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि `("a" + "bx")/("a" - "bx") = ("b" + "cx")/("b" - "cx") = ("c" + "dx")/("c" - "dx")` (x ≠ 0) हो, तो दिखाइए कि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में है।

किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P²Rⁿ = Sⁿ

किसी समांतर श्रेणी का pवाँ, qवाँ, rवाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए
(q – r)a + (r – p)b + (p – q) c = 0

यदि `"a"(1/"b" + 1/"c"), "b"(1/"c" + 1/"a"), "c"(1/"a" + 1/"b")` समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं।

यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

यदि x² – 3x + p = 0 के मूल a तथा b हैं तथा x² – 12x + q = 0, के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि (q + p) : (q – p) = 17 : 15

दो धनात्मक संख्याओं a तथा b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य का अनुपात m : n है। दर्शाइए कि a : b = `("m" + sqrt("m"^2 - "n"^2)) : ("m" - sqrt("m"^2 - "n"^2))`

यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा `1/"c", 1/"d", 1/"e"` समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

5 + 55 + 555 + ……

निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

.6 + .66 + .666 + …..

श्रेणी का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए:

2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8 + ….. + n पदों तक

श्रेणी 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + ….. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि S₁, S₂, S₃, क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है तो सिद्ध कीजिए कि `9"S"_2^2 = "S"_3 (1 + 8"S"_1)`

निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों तक योग ज्ञात कीजिए:

`1^3/1 + (1^3 + 2^3)/(1 + 3) + (1^3 + 2^3 + 3^3)/ (1 + 3 + 5) + ......`

दर्शाइए कि: `(1 xx 2^2 + 2 xx 3^2 + .... +  "n" xx ("n" + 1)^2)/(1^2 xx 2 + 2^2 xx 3 + .... +  "n"^2 xx ("n" + 1)) = (3"n" + 5)/(3"n" + 1)`

कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को ₹ 12000 में खरीदता है। वह ₹ 6000 नकद भुगतान करता है और शेष राशि को ₹ 500 की वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 12% वार्षिक ब्याज भी देता है। किसान को ट्रैक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी?

शमशाद अली 22000 रूपये में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 रूपये नकद देता है तथा शेष राशि को 1000 रूपये वार्षिक किश्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी?

एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा उनसे यह भी करने को कहता है कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि श्रंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।

एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रूपये 5% वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया। जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 15वें वर्ष में उसके खाते में कितनी रकम हो गई तथा 20 वर्षों बाद कुल कितनी रकम हो गई, ज्ञात कीजिए।

एक निर्माता घोषित करता है कि उसकी मशीन जिसका मूल्य 15625 रूपये है, हर वर्ष 20% की दर से उसका अवमूल्यन होता है। 5 वर्ष बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।

किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन 4 और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूर्ण करने में 8 दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूरा किया गया।