NCERT solutions for Mathematics Class 11 [गणित कक्षा ११ वीं] chapter 16 - प्रायिकता [Latest edition]

निम्नलिखित प्रश्न में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है।

निम्नलिखित प्रश्न में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक पासा दो बार फेंका गया है।

निम्नलिखित प्रश्न में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक सिक्का चार बार उछाला गया है।

निम्नलिखित प्रश्न में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है।

निम्नलिखित प्रश्न में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के पर चित्त प्रकट होता है एक पासा फेंका जाता है।

निम्नलिखित प्रश्न में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

X कमरे में 2 लड़के और 2 लड़कियाँ हैं तथा Y कमरे में 1 लड़का और 3 लड़कियाँ हैं। उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए जिसमें पहले एक कमरा चुना जाता है  फिर एक बच्चा चुना जाता है।

निम्नलिखित प्रश्न में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक पासा लाल रंग का, एक सफेद रंग का और एक अन्य पासा नीले रंग का एक थैले में रखे हैं। एक पासा यादृच्छया चुना गया और उसे फेंका गया है, पासे का रंग और इसके ऊपर के फलक पर प्राप्त संख्या को लिखा गया है। प्रतिदर्श समष्टि का वर्णन कीजिए।

एक परीक्षण में 2 बच्चों वाले परिवारों में से प्रत्येक में लड़के-लड़कियों की संख्या को लिखा जाता है।

1. यदि हमारी रुचि इस बात को जानने में है कि जन्म के क्रम में बच्चा लड़का या लड़की है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी?
2. यदि हमारी रुचि किसी परिवार में लड़कियों की संख्या जानने में है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी?

एक डिब्बे में 1 लाल और एक जैसी 3 सफ़ेद गेंद रखी गई हैं। दो गेंद उत्तरोतर (In succession) बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया निकाली जाती है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक परीक्षण में एक सिक्के को उछाला जाता है और यदि उस पर चित्त प्रकट होता है तो उसे पुनः उछाला जाता है। यदि पहली बार उछालने पर पट् प्राप्त होता है तो एक पासा फेंका जाता है। प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बल्बों के एक ढेर में से 3 बल्ब यादृच्छया निकाले जाते हैं। प्रत्येक बल्ब को जाँचा जाता है और उसे खराब (D) या ठीक (N) में वर्गीकृत करते हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक सिक्का उछाला जाता है। यदि परिणाम चित्त हो तो एक पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर एक सम संख्या प्रकट होती है तो पासे को पुनः फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

कागज़ की चार पर्चियों पर संख्याएँ 1, 2, 3, और 4 अलग-अलग लिखी गई हैं। इन पर्चियों को एक डिब्बे में रख कर भली-भाँति मिलाया गया है। एक व्यक्ति डिब्बे में से दो पर्चियाँ एक के बाद दूसरी बिना प्रतिस्थापित किए निकालता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

एक परीक्षण में एक पासा फेंका जाता है और यदि पासे पर प्राप्त संख्या सम है तो एक सिक्का एक बार उछाला जाता है। यदि पासे पर प्राप्त संख्या विषम है, तो सिक्के को दो बार उछालते हैं। प्रतिदर्श समष्टि लिखिए।

एक सिक्का उछाला गया। यदि उस पर पट् प्रकट होता है तो एक डिब्बे में से जिसमें 2 लाल और 3 काली गेंदे रखी हैं, एक गेंद निकालते हैं। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट होता है तो एक पासा फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि लिखिए।

एक पासे को बार-बार तब तक फेंका जाता है जब तक उस पर 6 प्रकट न हो जाए। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि क्या है?

एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E ‘पासे पर संख्या 4 दर्शाता' है और घटना F ‘पासे पर सम संख्या दर्शाता' है। क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?

एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:

1. A: संख्या 7 से कम है।
2. B: संख्या 7 से बड़ी है।
3. C: संख्या 3 का गुणज है।
4. D: संख्या 4 से कम है।
5. E: 4 से बड़ी सम संख्या है।
6. F: संख्या 3 से कम नहीं है।

A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩ F, D ∩ E, A – C, D – E, E ∩ F’, F’, भी ज्ञात कीजिए।

एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
A: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B: दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C: प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?

तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिए कि घटना 'तीन चित्त दिखना' को A से, घटना 'दो चित्त और एक पट् दिखना’ को B से, घटना 'तीन पट् दिखना’ को C और घटना ‘पहले सिक्के पर चित्त दिखना’ को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन-सी घटनाएँ

1. परस्पर अपवर्जी हैं?
2. सरल हैं?
3. मिश्र हैं?

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए।

दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए।

तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए।

दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए।

दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए।

तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।

दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:

A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना

B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना

C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना

निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:

1. A’
2. B–नहीं
3. A या B
4. A और B
5. A किंतु C नहीं
6. B या C
7. B और C
8. A ∩ B’ ∩ C’

दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:

A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना

B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना

C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना

निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):

A और B परस्पर अपवर्जी हैं।

दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:

A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना

B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना

C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना

निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):

A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।

दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:

A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना

B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना

C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना

निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):

A = B’

दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:

A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना

B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना

C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना

निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):

A और C परस्पर अपवर्जी हैं।

प्रतिदर्श समष्टि S = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆, ω₇} के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन से प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं हैं:

एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?

एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

1. एक अभाज्य संख्या प्रकट होना
2. 3 या 3 से बड़ी संख्या प्रकट होना
3. 1 या 1 से छोटी संख्या प्रकट होना
4. छः से बड़ी संख्या प्रकट होना
5. छः से छोटी संख्या प्रकट होना

ताश की एक गड्डी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है।

1. प्रतिदर्श समष्टि में कितने बिंदु हैं?
2. पत्ते का हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता क्या है?
3. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता
   (i) इक्का है
   (ii) काले रंग का है।

एक अनभिनत (unbiased) सिक्का जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अनभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग (i) 3 है। (ii) 12 है।

नगर परिषद् में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक परिषद् सदस्य चुना गया है तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी संभावना है ?

एक अनभिनत सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्ति प्रत्येक चित्त पर एक रू जीतता है और प्रत्येक पट् पर 1.50 रू हारता है। इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालों में कितनी विभिन्न राशियाँ प्राप्त कर सकते हैं। साथ ही इन राशियों से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

1. तीन चित्त प्रकट होना
2. 2 चित्त प्रकट होना
3. न्यूनतम 2 चित्त प्रकट होना
4. अधिकतम 2 चित्त प्रकट होना
5. एक भी चित्त प्रकट न होना
6. 3 पट् प्रकट होना
7. तथ्यतः 2 पट् प्रकट होना
8. कोई भी पट प्रकट न होना
9. अधिकतम 2 पट् प्रकट होना

यदि किसी घटना A की प्रायिकता `2/11` है तो घटना ‘A-नहीं’ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

शब्द ‘ASSASSINATION’ से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर

1. एक स्वर (vowel) है
2. एक व्यंजन (consonant) है।

एक लाटरी में एक व्यक्ति 1 से 20 तक की संख्याओं में से छः भिन्न-भिन्न संख्याएँ यादृच्छया चुनता है और यदि ये चुनी गई छः संख्याएँ उन छः संख्याओं से मेल खाती हैं, जिन्हें लाटरी समिति ने पूर्वनिर्धारित कर रखा है, तो वह व्यक्ति इनाम जीत जाता है। लाटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है? [संकेत: संख्याओं के प्राप्त होने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है]

जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ P(A) और P(B) युक्ति संगत (consistently) परिभाषित की गई हैं:

P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6

जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ P(A) और P(B) युक्ति संगत (consistently) परिभाषित की गई हैं:

P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8

निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए:

निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए:

निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए:

P(A) = `3/5` और P(B) = `1/5`, दिया गया है। यदि A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो P(A या B), ज्ञात कीजिए।

यदि E और F घटनाएँ इस प्रकार की हैं कि P(E) = `1/4`, P(F) = `1/2`, और P(E और F) = `1/8`, तो ज्ञात कीजिए (i) P(E या F) (ii) P(E-नहीं और F-नहीं)।

घटनाएँ E और F इस प्रकार हैं कि P(E-नहीं और F-नहीं) = 0.25, बताइए कि E और F परस्पर अपवर्जी हैं या नहीं?

घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 और P(A और B) = 0.16, ज्ञात कीजिए:

P(A-नहीं)

घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 और P(A और B) = 0.16, ज्ञात कीजिए:

P (B-नहीं)

घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 और P(A और B) = 0.16, ज्ञात कीजिए:

P(A या B)

एक पाठशाला की कक्षा XI के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं और 30% जीव विज्ञान पढ़ते हैं। कक्षा के 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं । यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह गणित या जीव विज्ञान पढ़ता होगा।

एक प्रवेश परीक्षा की दो परीक्षणों (Tests) के आधार पर श्रेणीबद्ध किया जाता है। किसी यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी की पहले परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.8 है और दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.7 है। दोनों में से कम से कम एक परीक्षण उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.95 है। दोनों परीक्षणों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

एक विद्यार्थी के अंतिम परीक्षा के अंग्रेजी और हिंदी दोनों विषयों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.5 है और दोनों में से कोई भी विषय उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता 0.1 है। यदि अंग्रेजी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.75 हो तो हिंदी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन. सी. सी. (NCC), 32 ने एन. एस. एस. (NSS) और 24 ने दोनों को चुना है। यदि इनमें से एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

1. विद्यार्थी ने एन.सी.सी. या एन.एस.एस. को चुना है।
2. विद्यार्थी ने न तो एन.सी.सी. और न ही एन.एस.एस. को चुना है।
3. विद्यार्थी ने एन.एस.एस. को चुना है किंतु एन.सी.सी को नहीं चुना है।

एक डिब्बे में 10 लाल, 20 नीली व 30 हरी गोलियाँ रखी हैं। डिब्बे से 5 गोलियाँ यादृच्छया निकाली जाती हैं। प्रायिकता क्या है कि

1. सभी गोलियाँ नीली हैं?
2. कम से कम एक गोली हरी है?

ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाले गए पत्तों में 3 ईटऔर एक हुकुम का पत्ता है?

एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या `1` अंकित है, तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या '2' अंकित है और एक फलक पर संख्या '3' अंकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

1. P(2)
2. P(1 या 3)
3. P(3-नहीं)

एक लाटरी में 10000 टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप

1. एक टिकट खरीदते हैं
2. दो टिकट खरीदते हैं
3. 10 टिकट खरीदते हैं?

100 विद्यार्थियों में से 40 और 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाए गए हैं। यदि आप और आपका एक मित्र 100 विद्यार्थियों में हैं तो प्रायिकता क्या है कि

1. आप दोनों एक ही वर्ग में हों?
2. आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हों?

तीन व्यक्तियों के लिए तीन पत्र लिखवाए गए हैं और प्रत्येक के लिए पता लिखा एक लिफाफा है। पत्रों को लिफाफों में यादृच्छया इस प्रकार डाला गया कि प्रत्येक लिफाफे में एक ही पत्र है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में डाला गया है।

A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 और P(A ∩ B) = 0.35 ज्ञात कीजिए:

1. P(A ∪ B)
2. P(A’ ∩ B')
3. P(A ∩ B’)
4. P(B ∩ A’)

एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन प्रबंध समिति के लिए किया गया है। पाँच कर्मचारियों का ब्योरा निम्नलिखित है:

इस समूह से प्रवक्ता पद के लिए यादृच्छया एक व्यक्ति का चयन किया गया। प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होने की प्रायिकता क्या है?

यदि 0, 1, 3, 5 और 7 अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जब,

1. अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए?
2. अंकों की पुनरावृत्ति की जाए?

किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक अंकित हैं। ताला चार अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं) द्वारा ही खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले।