NCERT solutions for Mathematics Class 11 [गणित कक्षा ११ वीं] chapter 13 - सीमा और अवकलज [Latest edition]

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 3) "x" + 3`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → π) ("x" - 22/7)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 1) (π"r")^2`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 4) (4"x" + 3)/("x" - 2)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → -1)("x"^10 + "x"^5 + 1)/("x" - 1)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0)(("x" + 1)^5 - 1)/"x"`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 2)(3"x"^2 - "x" - 10)/("x"^2 - 4)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 3) ("x"^4 - 81)/(2"x"^2 - 5"x" - 3)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0) ("ax" + "b")/("cx" + 1)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("z" → 1) ("z"^(1/3) - 1)/("z"^(1/6) -1)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 1) ("ax"^2 + "bx" + "c")/("cx"^2 + "bx" + "a"),  "a" + "b" + "c" ≠ 0`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → -2) (1/"x" + 1/2)/("x" + 2)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0) (sin"ax")/"bx"`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0) (sin"ax")/(sin "bx"), a, b ≠ 0`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → π)(sin(π - "x"))/(π (π - "x"))`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0) (cos "x")/(π - "x")`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0) (cos 2"x" - 1)/(cos "x" - 1)`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0)("ax" + "x"cos"x")/("b"sin"x")`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0) "x" sec "x"`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0)(sin"ax" + "bx")/("ax" + sin"bx"), "a", "b", "a" + "b" ≠ 0`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → 0) ("cosec x" - cot "x")`

निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए:

`lim_("x" → π/2) (tan2"x")/("x" - π/2)`

`lim_("x" → 0) f("x")` और `lim_("x" → 1) f("x")` ज्ञात कीजिए, जहाँ

`f(x) = {(2x + 3, x ≤ 0),(3(x+1), x > 0):}`

`lim_(x → 1) f(x)` ज्ञात कीजिए, जहाँ `f(x) = {(x^2 -1, x ≤ 1), (-x^2 -1, x > 1):}`

`lim_("x" → 0) f("x")` का मान प्राप्त कीजिए, जहाँ `f("x") = {(|"x"|/"x", "x" ≠ 0), (0, "x" = 0):}`

`lim_("x" → 0) f("x")` ज्ञात कीजिए  जहाँ `f("x") = {(x/|x|, x ≠ 0),(0, x = 0):}`

`lim_("x" → 5) f("x")` ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = |x| − 5

मान लीजिए `f("x") = {("a" + "bx", "x" < 1), (4, "x" = 1), ( "b" - "ax", "x" > 1):}` और यदि `lim_("x" → 1) f("x") = f(1)` तो a और b के संभव मान क्या हैं?

मान लीजिए a₁, a₂, ….. a_n, अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x – a₁) (x – a₂) ….. (x – a_n) से परिभाषित है। `lim_("x" → "a"_1)` f(x) क्या है? किसी a ≠ a₁, a₂, ….. a_n के लिए `lim_("x" → "a") f("x")`  का परिकलन कीजिए।

यदि f(x)  = `{(|"x"| +  1,"x" < 0), (0, "x" = 0),(|"x"| -1, "x" > 0):}` तो a के किन मानों  के लिए `lim_("x" → "a") f("x")` का अस्तित्व है?

यदि फलन f(x), `lim_("x" → 1) (f("x") - 2)/("x"^2 - 1)` = π को संतुष्ट करता है, तो `lim_("x" → 1)` f(x) का मान प्राप्त कीजिए।

किन पूर्णांकों m और n के लिए `lim_("x" → 0) f("x")` और `lim_("x" → 1) f("x")` दोनों का अस्तित्व है, यदि

`f("x") = {("mx"^2 + "n", "x" < 0),("nx" + "m", 0 ≤ "x" ≤ 1),("nx"^3 +"m","x" > 1):}`

x = 10 पर x² – 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।

x = 1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

x = 100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:
x³ – 27

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

 (x – 1)(x – 2)

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

`1/"x"^2`

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

`("x" + 1)/("x" - 1)`

फलन f(x) = `"x"^100/100 + "x"^99/99 + ....... + "x"^2/2 + "x" + 1` के लिए सिद्ध कीजिए कि f'(1) = 100 f'(0)

किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए xⁿ + ax^{n – 1} + a²x^{n – 2} + …. + a^{n – 1} x + aⁿ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

किन्हीं अचरों a और b, के लिए, (x – a)(x – b) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

किन्हीं अचरों a और b, के लिए, (ax² + b)² का अवकलज ज्ञात कीजिए।

किन्हीं अचरों a और b, के लिए, `("x" - "a")/("x" - "b")` का अवकलज ज्ञात कीजिए।

किसी अचर a के लिए `("x"^"n" - "a"^"n")/("x" - "a")` का अवकलज ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए:

`2"x" - 3/4`

निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए:

(5x³ + 3x – 1) (x – 1)

निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए:

 x ^–3(5 + 3x)

निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए:

x⁵ (3 – 6x^{– 9})

निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए:

x^{– 4} (3 – 4x^–5)

निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए:

`2/("x" + 1) - "x"^2/(3"x" - 1)`

प्रथम सिद्धांत से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:

3 cot x + 5 cosec x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।

sin x cos x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।

sec x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।

5 sec x + 4 cos x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।

cosec x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।

3 cot x + 5 cosec x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।

5 sin x – 6 cos x + 7

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए।

2 tan x – 7 sec x

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

–x

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

(−x)^–1

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

sin (x + 1)

प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

`cos ("x" - π/8)`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(x + a)

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`("px" + "q") ("r"/"x" + "s")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(ax + b) (cx + d)²

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`("ax" + "b")/("cx" + "d")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`(1 + 1/"x")/(1 - 1/"x")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`1/("ax"^2 + "bx" + "c")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`("ax" + "b")/("px"^2 + "qr" + "r")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`("px"^2 + "qx" + "r")/("ax" + "b")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`"a"/"x"^4 - "b"/"x"^2 + cos "x"`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`4sqrt"x" - 2`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(ax + b)ⁿ

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(ax + b)ⁿ (cx + d)^m

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

sin (x + a)

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

cosec x cot x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`(cos "x")/(1 + sin "x")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`(sin"x" + cos"x")/(sin"x" - cos"x")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`(sec "x" - 1)/(sec "x" + 1)`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

sinⁿx

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`("a" + "b" sin"x")/("c" + "d" cos"x")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`sin("x" + "a")/cos"x"`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

x⁴ (5 sin x – 3 cos x)

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(x² + 1)cos x

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(ax² + sin x)(p + q cos x)

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(x + cos x)(x – tan x)

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`(4"x" + 5sin "x")/(3"x" + 7 cos "x")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`("x"^2 cos(π/4))/sin "x"`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`"x"/(1 + tan "x")`

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

(x + sec x) (x – tan x)

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`"x"/(sin^"n" "x")`