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Chapter 3: वृत्त
Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] Chapter 3 वृत्त प्रश्नसंग्रह 3.1 [Page 55]
संलग्न आकृति में, C केंद्रवाले वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। रेखा AB वृत्त को बिंदु A पर स्पर्श करता है। इस जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(1) ∠CAB का माप कितने अंश है? क्यों?
(2) बिंदु C, रेखा AB से कितनी दूरी पर है? क्यों?
(3) यदि d(A, B) = 6 सेमी, तो d(B,C) ज्ञात कीजिए।
(4) ∠ABC का माप कितने अंश है? क्यों?
संलग्न आकृति में, O केंद्रवाले वृत्त के बाह्य भाग में स्थित बिंदु R से खींचे गए RM और RN स्पर्श रेखाखंड वृत्त को बिंदु M और N पर स्पर्श करते हैं। यदि l(O,R)= 10 सेमी तथा वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो -
(1) प्रत्येक स्पर्श रेखाखंड की लंबाई कितनी होगी?
(2) ∠MRO का माप कितना होगा?
(3) ∠MRN का माप कितना होगा?
रेख RM और रेख RN, O केंद्रवाले वृत्त के स्पर्श रेखाखंड हैं। सिद्ध कीजिए की रेख OR, ∠MRN और ∠MON दोनों कोणों का समद्विभाजक है।
4.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ परस्पर समांतर हैं। उन स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी कितनी होगी कारण सहित लिखिए।
Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] Chapter 3 वृत्त प्रश्नसंग्रह 3.2 [Page 58]
परस्पर अंतःस्पर्श करनेवाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 3.5 सेमी तथा 4.8 सेमी हों तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
बाह्यस्पर्शी दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 5.5 सेमी तथा 4.2 सेमी हों तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
4 सेमी और 2.8 सेमी त्रिज्या वाले (1) बाह्यस्पर्शी (2) अंतःस्पर्शी वृत्त बनाइए।
आकृति में P तथा Q केंद्र वाले वृत्त एकदूसरे को R बिंदु पर स्पर्श करते हैं। बिंदु R से जानेवाली रेखा उन वृत्तों को क्रमशः बिंदु A तथा बिंदु B पर प्रतिच्छेदित करती हो तो -
(1) सिद्ध कीजिए रेख AP || रेख BQ
(2) सिद्ध कीजिए ΔAPR ~ ΔRQB
(3) यदि ∠PAR का माप 35° हो, तो ∠RQB का माप ज्ञात कीजिए।
आकृति में A तथा B केंद्रवाले वृत्त परस्पर बिंदु E पर स्पर्श करते हैं। उनकी सामान्य स्पर्शरेखा l उन्हें क्रमशः C तथा D बिंदुओं पर स्पर्श करती है। यदि वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 4 सेमी तथा 6 सेमी हो तो रेख CD की लंबाई कितनी होगी?
Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] Chapter 3 वृत्त प्रश्नसंग्रह 3.3 [Pages 63 - 64]
आकृति में, C केंद्रवाले वृत्त पर G, D, E और F बिंदु हैं। ∠ECF का माप 70° और चाप DGF का माप 200° हो, तो चाप DE और चाप DEF के माप ज्ञात कीजिए।
आकृति में ΔQRS समबाहु त्रिभुज है। तो सिद्ध कीजिए -
(1) चाप RS ≅ चाप QS ≅ चाप QR
(2) चाप QRS का माप 240° है।
आकृति में, जीवा AB ≅ जीवा CD, तो सिद्ध कीजिए - चाप AC ≅ चाप BD
Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] Chapter 3 वृत्त प्रश्नसंग्रह 3.4 [Pages 73 - 74]
आकृति में, O केंद्र वालेवृत्त की जीवा AB की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। तो (1) ∠AOB (2) ∠ACB (3) चाप AB और (4) चाप ACB का माप ज्ञात कीजिए।
आकृति में, `square`PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है। भुजा PQ ≅ भुजा RQ, ∠PSR = 110°, तो
(1) ∠PQR = कितना?
(2) m(चाप PQR) = कितना?
(3) m(चाप QR) = कितना?
(4) ∠PRQ = कितना?
चक्रीय `square`MRPN में, ∠R = (5x - 13)° और ∠N = (4x + 4)°, तो ∠R और ∠N के माप ज्ञात कीजिए।
आकृति में रेख RS ; O केंद्रवाले वृत्त का व्यास है। बिंदु T वृत्त के बाह्यभाग में स्थित एक बिंदु है। तो सिद्ध कीजिए ∠RTS एक न्यूनकोण है।
सिद्ध कीजिए कि कोई भी आयत चक्रीय चतुर्भुज होता है।
आकृति में, ΔWXY में, शीर्षलंब रेख YZ और रेख XT परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते है | सिद्ध कीजिए कि,
(i) `square`WZPT एक चक्रीय चतुर्भुज है।
(ii) बिंदु X, Z, T, Y एक ही वृत्त पर हैं।
आकृति में m(चाप NS) = 125°, m(चाप EF) = 37°, तो ∠NMS का माप ज्ञात कीजिए।
आकृति में जीवा AC और जीवा DE बिंदु B पर प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि ∠ABE = 108° और m(चाप AE) = 95° तो m(चाप DC) ज्ञात कीजिए।
Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] Chapter 3 वृत्त प्रश्नसंग्रह 3.5 [Page 82]
आकृति में, बिंदु Q एक स्पर्शबिंदु है। यदि PQ = 12, PR = 8, तो PS = कितना? RS = कितना?
आकृति में, जीवा MN और RS एक दूसरे को बिंदु D पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
(1) यदि RD = 15, DS = 4, MD = 8 तो DN = कितना?
(2) यदि RS = 18, MD = 9, DN = 8 तो DS = कितना?
आकृति में, बिंदु B स्पर्श बिंदु और ‘O’ वृत्त का केंद्र है। रेख OE ⊥ रेख AD, AB = 12, AC = 8 तो (1) AD (2) DC और (3) DE = ज्ञात कीजिए।
आकृति में, यदि l(PQ) = 6, QR = 10, PS = 8 तो TS = कितना?
आकृति में, रेख EF व्यास और रेख DF स्पर्श रेखाखंड है। वृत्त की त्रिज्या r हो, तो सिद्ध कीजिए - DE × GE = 4r2
Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] Chapter 3 वृत्त प्रकीर्ण प्रश्नसंग्रह 3 [Pages 83 - 90]
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
क्रमशः 5.5 सेमी और 3.3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त परस्पर स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरी कितने सेमी होगी?
4.4
8.8
2.2
8.8 या 2.2 सेमी
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
परस्पर प्रतिच्छेदित करने वाले दो वृत्त एक दूसरे के केंद्र से होकर जाते हैं। यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी 12 सेमी हो, तो प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या कितने सेमी होगी?
6
12
24
बताया नहीं जा सकता
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
‘यदि कोई वृत्त किसी समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है, तो समांतर चतुर्भुज ______ होना चाहिए’, इस कथन में रिक्त स्थान में उचित शब्द लिखिए।
आयत
समचतुर्भुज
वर्ग
समलंब चतुर्भुज
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
यदि किसी वृत्त के केंद्र से 12.5 सेमी की दूरी पर स्थित किसी बिंदु से उस वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाखंड की लंबाई 12 सेमी हो, तो उस वृत्त का व्यास कितने सेमी होगा?
25
24
7
14
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
परस्पर बाह्य स्पर्श करनेवाले दो वृत्तों में अधिक से अधिक कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
एक
दो
तीन
चार
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
‘O’ केंद्र वाले वृत्त के चाप ACB में ∠ACB अंतर्लिखित किया गया है। यदि m∠ACB = 65° तो m(चाप ACB) = कितना?
65°
130°
295°
230°
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
किसी वृत्त की जीवाएँ AB और CD परस्पर वृत्त के अंतर्भाग में बिंदु E पर प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि AE = 5.6, EB = 10, CE = 8 तो ED = कितना?
7
8
11.2
9
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
चक्रीय चतुर्भुज `square`ABCD में ∠A के माप का दुगुना ∠C के माप के तिगुने के बराबर हो, तो ∠C का माप कितना होगा?
36°
72°
90°
108°
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
किसी वृत्त पर बिंदु A, B, C इस प्रकार है, कि m(चाप) AB = m(चाप BC) = 120° और दोनों चापों का कोई भी बिंदु सामान्य नहीं है। तो ΔABC किस प्रकार का त्रिभुज है?
समबाहु त्रिभुज
विषमबाहु त्रिभुज
समकोण त्रिभुज
समद्विबाहु त्रिभुज
दिए गए प्रत्येक उप प्रश्न के लिए चार वैकल्पिक उत्तर दिए हैं। उनमें से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
रेख XZ व्यास वाले वृत्त के अन्तःभाग में एक बिंदु Y है। तो निम्नलिखित में से कितने कथन सत्य हैं?
(1) ∠XYZ न्यूनकोण नहीं हो सकता।
(2) ∠XYZ समकोण नहीं हो सकता।
(3) ∠XYZ अधिक कोण है।
(4) ∠XYZ के माप के संदर्भ में कोई निश्चित कथन नहीं किया जा सकता।
सिर्फ एक
सिर्फ दो
सिर्फ तीन
सभी
‘O’ केंद्रवाले वृत्त को रेखा l, बिंदु P पर स्पर्श करती है। यदि वृत्त की त्रिज्या 9 सेमी हो, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लिखिए :
(1) d(O, P) = कितना? क्यों?
(2) यदि d(O, Q) = 8 सेमी हो, तो बिंदु Q का स्थान कहाँ होगा?
(3) d(O, Q) = 15 सेमी, हो तो रेखा l पर बिंदु Q कितनी जगह पर हो सकता है? वे बिंदु P से कितनी दूरी पर होंगे?
संलग्न आकृति में, बिंदु M वृत्त का केंद्र और रेख KL स्पर्श रेखाखंड है | यदि MK = 12, KL = 6√3
तो -
(1) वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
(2) ∠K और ∠M का माप ज्ञात कीजिए ।
आकृति में, बिंदु ‘O’ वृत्त का केंद्र और रेख AB तथा रेख AC स्पर्शरेखाखंड हैं । यदि वृत्त की त्रिज्या r और AB = r हो, तो सिद्ध कीजिए कि, `square`ABOC एक वर्ग है |
आकृति में, T केंद्र वाले वृत्त के चारों ओर समांतर `square` ABCD परिलिखित किया गया है | (अर्थात उस चतुर्भुज की चारों भुजाएँ वृत्त को स्पर्श करती हैं |) बिंदु E, F, G और H स्पर्श बिंदु है। यदि AE = 4.5 और EB = 5.5, तो AD का मान ज्ञात कीजिए ।
आकृति में, N केंद्र वाला वृत्त M केंद्रवाले वृत्त को बिंदु T पर स्पर्श करता है । बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त को बिंदु S पर स्पर्श करती है । यदि बड़े तथा छोटे वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 9 सेमी तथा 2.5 सेमी हो तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर ज्ञात कर इसके आधार पर MS : SR का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
(1) MT = कितना?
(2) MN = कितना?
(3) ∠NSM = कितना?
संलग्न आकृति में, X और Y केंद्रवाले वृत्त परस्पर Z बिंदु पर स्पर्श करते हैं | बिंदु Z से होकर जानेवाली वृत्त की छेदन रेखा उन वृत्तों को क्रमशः बिंदु A तथा बिंदु B पर प्रतिच्छेदित करती है | सिद्ध कीजिए कि त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. नीचे दी गई उपपत्ति में रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति को पूर्ण कीजिए ।
रचना: रेख XZ और ______ खींचिए ।
उपपत्ति:
स्पर्शवृत्तों के प्रमेयानुसार, बिंदु X, Z, Y ______ हैं ।
∴ ∠XZA ≅ ______ ...(शीर्षाभिमुख कोण)
माना ∠XZA = ∠BZY = a ...(I)
अब, रेख XA ≅ रेख XZ ...(______)
∴ ∠XAZ = ______ = a ....(समद्विबाहु त्रिभुज का प्रमेय) (II)
उसी प्रकार रेख YB ≅ ______ ...(______)
∴ ∠BZY = ______ = a ...(______) (III)
∴ (I), (II) तथा (III) से,
∠XAZ ≅ ______
∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ...(______)
आकृति में, बिंदु X तथा बिंदु Y केंद्रवाले अंतः स्पर्शी वृत्त बिंदु Z पर स्पर्श करते हैं। बड़े वृत्त की जीवा BZ छोटे वृत्त को बिंदु A पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध कीजिए, कि - रेख AX || रेख BY.
संलग्न आकृति में रेखा l, बिंदु O केंद्र वाले वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। बिंदु Q त्रिज्या OP का मध्य बिंदु है। बिंदु Q से होकर जानेवाली जीवा RS || रेखा l। यदि RS = 12 सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |
आकृति में, रेख AB बिंदु C केंद्रवाले वृत्त का व्यास है। वृत्त की स्पर्श रेखा PQ वृत्त को बिंदु T पर स्पर्श करती है । रेख AP ⊥ रेखा PQ और रेख BQ ⊥ रेखा PQ तो सिद्ध कीजिए कि, रेख CP ≅ रेख CQ.
3 सेमी त्रिज्या तथा बिंदु A, B तथा C केंद्रवाले वृत्तों की रचना इस प्रकार कीजिए कि प्रत्येक वृत्त अन्य दो वृत्तों को स्पर्श करता हो।
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के कोई भी तीन बिंदु एक रैखिक नहीं होते।
आकृति में, रेखा PR वृत्त को Q बिंदु पर स्पर्श करती है। आकृति के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लिखिए।
(1) ∠TAQ और ∠TSQ के मापों का योगफल कितना होगा?
(2) ∠AQP के सर्वांगसम कोण का नाम बताइए।
(3) ∠QTS के सर्वांगसम कोण का नाम बताइए।
(4) यदि ∠TAS = 65°, तो ∠TQS और चाप TS के माप बताइए।
(5) यदि ∠AQP = 42° और ∠SQR = 58°, तो ∠ATS के माप ज्ञात कीजिए।
संलग्न आकृति में, O केंद्रवाले वृत्त में रेख PQ तथा रेख RS सर्वांगसम जीवा हैं। यदि ∠POR = 70° तथा m(चाप RS) = 80°, तो -
(1) m(चाप PR) कितना?
(2) m(चाप QS) कितना?
(3) m(चाप QSR) कितना?
आकृति में, m(चाप WY) = 44°, m(चाप ZX) = 68°, तो
(1) ∠ZTX का माप ज्ञात कीजिए।
(2) WT = 4.8, TX = 8.0, YT = 6.4 तो TZ = कितना?
(3) WX = 25, YT = 8, YZ = 26, तो WT = कितना?
आकृति में,
(1) m(चाप CE) = 54°, m(चाप BD) = 23°, तो ∠CAE = कितना?
(2) AB = 4.2, BC = 5.4, AE = 12.0 तो AD = कितना?
(3) AB = 3.6, AC = 9.0, AD = 5.4 तो AE = कितना?
संलग्न आकृति में, जीवा EF || जीवा GH तो सिद्ध कीजिए कि, जीवा EG ≅ जीवा FH नीचे दी गई उपपत्ति में रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
उपपत्ति : रेख GF खींचिए।
∠EFG = ∠FGH ........... `square` (I)
∠EFG = `square` (अंतर्लिखित कोण के प्रमेय से) (II)
∠FGH = `square` (अंतर्लिखित कोण के प्रमेय से) (III)
∴ m (चाप EG) = `square` [(I), (II) तथा (III) से]
जीवा EG ≅ जीवा FH .......... `(square)`
संलग्न आकृति में बिंदु P एक स्पर्श बिंदु है।
(1) m(चाप PR) = 140°, ∠POR = 36° तो m(चाप PQ) = कितना?
(2) OP = 7.2, OQ = 3.2, तो OR तथा QR ज्ञात कीजिए।
(3) OP = 7.2, OR = 16.2, तो QR का मान कितना?
संलग्न आकृति में, C केंद्रवाला वृत्त D केंद्रवाले वृत्त को E बिंदु पर अंतःस्पर्श करता है। बिंदु D अंतःवृत्त पर है। बाह्य वृत्त की जीवा EB अंतःवृत्त को A बिंदु पर प्रतिच्छेदित करती है। सिद्ध कीजिए, कि रेख EA ≅ रेख AB
आकृति में, रेख AB बिंदु O केंद्रवाले वृत्त का व्यास है। अंतर्लिखित ∠ACB का समद्विभाजक वृत्त को D बिंदु पर प्रतिच्छेदित करता है। सिद्ध कीजिए कि रेख AD ≅ रेख BD। नीचे दी गई उपपत्ति में रिक्त स्थान की पूर्ति कर पूर्ण कीजिए।
उपपत्ति : रेख OD खींचिए।
∠ACB = `square` (अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोण)
∠DCB = `square` (रेख CD, ∠C का समद्विभाजक है)
m(चाप DB) = `square` (अंतर्लिखित कोण का प्रमेय)
∠DOB = `square` (चाप के माप की परिभाषा) (I)
रेख OA ≅ रेख OB..........(`square`) (II)
∴ रेखा OD रेख AB की `square` रेखा है। (I) तथा (II) से
∴ रेखा AD ≅ रेख BD
संलग्न आकृति में रेख MN ‘O’ केंद्रवाले वृत्त की जीवा है। MN = 25, जीवा MN पर बिंदु L इस प्रकार है कि, ML = 9 और d(O, L) = 5 तो इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
आकृति में दो वृत्त परस्पर बिंदु S तथा बिंदु R पर प्रतिच्छेदित करते हैं। रेखा PQ उन वृत्तों की सामान्य स्पर्श रेखा है जो उन्हे बिंदु P तथा Q पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि - ∠PRQ + ∠PSQ = 180°
आकृति में, दो वृत्त एक दूसरे को बिंदु M तथा N पर प्रतिच्छेदित करते हैं। यदि बिंदु M तथा N से खींची गई वृत्त की छेदन रेखाएँ वृत्तों के क्रमशः बिंदु R तथा S पर तथा बिंदु P तथा Q पर प्रतिच्छेदित करती हों तो सिद्ध कीजिए कि PR || QS
दो वृत्त परस्पर बिंदु A तथा बिंदु E पर प्रतिच्छेदित करते हैं। बिंदु E से खींची गई सामान्य छेदन रेखा वृत्तों को बिंदु B तथा बिंदु D पर प्रतिच्छेदित करती है। बिंदु B तथा बिंदु D से खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर बिंदु C पर प्रतिच्छेदित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि, `square`ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
ΔABC में, रेख AD ⊥ भुजा BC, रेख BE ⊥ भुजा AC, रेख CF ⊥ भुजा AB। बिंदु ‘O’ लंबपाद हो तो सिद्ध कीजिए कि, बिंदु ‘O’ ΔDEF का अंतःकेंद्र है।
Chapter 3: वृत्त
Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] chapter 3 - वृत्त
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