Balbharati solutions for Mathematics 2 Geometry 10th Standard SSC Maharashtra State Board [गणित २ १० वीं कक्षा] chapter 1 - समरूपता [Latest edition]

यदि किसी त्रिभुज का आधार 9 और ऊँचाई 5 है। दूसरे त्रिभुज का आधार 10 और ऊँचाई 6 हो तो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।  

संलग्न आकृति में BC ⊥ AB, AD ⊥ AB, BC = 4, AD = 8 तो `("A"(Δ "ABC"))/("A"(Δ "ADB"))` का मान ज्ञात कीजिए।

संलग्न आकृति में रेख PS ⊥ रेख RQ रेख QT ⊥ रेख PR। यदि RQ = 6, PS = 6, PR = 12, तो QT का मान ज्ञात कीजिए।

संलग्न आकृति में AP ⊥ BC, AD || BC, तो A(ΔABC) : A(ΔBCD) का मान ज्ञात कीजिए।

संलग्न आकृति में, PQ ⊥ BC, AD ⊥ BC तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए।

(i) `("A"(Δ "PQB"))/("A"(Δ "PBC"))`

(ii) `("A"(Δ "PBC"))/("A"(Δ "ABC"))`

(iii) `("A"(Δ "ABC"))/("A"(Δ "ADC"))`

(iv) `("A"(Δ "ADC"))/("A"(Δ "PQC"))`

नीचे त्रिभुज और उनके रेखाखंडों की लंबाई दी गई है। इस आधार पर पहचानिए कि आकृति में किरण PM यह ∠QPR की समद्‌विभाजक है।

नीचे त्रिभुज और उनके रेखाखंडों की लंबाई दी गई है। इस आधार पर पहचानिए कि आकृति में किरण PM यह ∠QPR की समद्‌विभाजक है।

नीचे त्रिभुज और उनके रेखाखंडों की लंबाई दी गई है। इस आधार पर पहचानिए कि आकृति में किरण PM यह ∠QPR की समद्‌विभाजक है।

ΔPQR में PM = 15, PQ = 25, PR = 20, NR = 8 तो बताइए रेख NM भुजा RQ के समांतर है क्या? कारण लिखिए। 

ΔMNP में रेख NQ यह ∠N की समद्‌विभाजक है। यदि MN = 5, PN = 7, MQ = 2.5 तो QP का मान ज्ञात कीजिए।

आकृति में कुछ कोणों के माप दिए गए हैं। इनके आधार पर सिद्ध कीजिए कि, `"AP"/"PB" = "AQ"/"QC"`

समलंब चतुर्भुज ABCD में, भुजा AB || भुजा PQ || भुजा DC, यदि AP = 15, PD = 12, QC = 14 तो BQ का मान ज्ञात कीजिए।

आकृति में दी गई जानकारी के आधार पर QP का मान ज्ञात कीजिए।

संलग्न आकृति में AB || CD || FE तो x तथा AE का मान ज्ञात कीजिए।

ΔLMN में किरण MT यह ∠LMN की समद्‌विभाजक है। LM = 6, MN = 10, TN = 8 तो LT का मान ज्ञात कीजिए।

ΔABC में रेख BD यह ∠ABC की समद्‌विभाजक है, यदि AB = x, BC = x + 5, AD = x – 2, DC = x + 2 तो x का मान ज्ञात कीजिए।

संलग्न आकृति में त्रिभुज के अंत:भाग में स्थित एक बिंदु X है। बिंदु X को त्रिभुज के शीर्षबिंदुओं से जोड़ा गया है। इसी प्रकार रेख PQ || रेख DE, रेख QR || रेख EF, तो रेख PR || रेख DF को सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित चौखटों को पूरा कीजिए।

उपपत्ति : ΔXDE में PQ || DE ..........`square` 

∴ `"XP"/square = square/"QE"` .............(I) (समानुपात का मूलभूत प्रमेय)

ΔXEF में QR || EF ..........`square` 

∴ `square/square = square/square` .........(II) `square` 

∴ `square/square = square/square` ..............कथन (I) तथा (II) से

∴ रेख PR || रेख DF ............. (समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)

ΔABC में AB = AC, ∠B तथा ∠C के समद्‌विभाजक भुजा AC तथा भुजा AB को क्रमश: बिंदु D तथा E पर प्रतिच्छेदित करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि रेख ED || रेख BC

आकृति में ∠ABC = 75°, ∠EDC = 75° तो इनमें दो त्रिभुज किस कसौटी के अनुसार समरूप हैं? उनकी समरूपता की एकैकी संगति लिखिए।

संलग्न आकृति में, दिए गए त्रिभुज क्या समरूप हैं? यदि हाँ तो किस कसौटी के अनुसार?

आकृति में दर्शाएअनुसार 8 मीटर तथा 4 मीटर ऊँचाईवाले दो खंभे समतल जमीन पर खड़े हैं। सूर्य के प्रकाश से छोटे खंभे की परछाई 6 मीटर होती हो तो उसी समय बड़े खंभे की परछाईं की लंबाई कितनी होगी?

ΔABC में AP ⊥ BC, BQ ⊥ AC B-P-C, A-Q-C तो सिद्ध कीजिए कि ΔCPA ~ ΔCQB। यदि AP = 7, BQ = 8, BC = 12 तो AC का मान ज्ञात कीजिए।

संलग्न आकृति में `square`PQRS एक समलंब चतुर्भुज है। जिसमें भुजा PQ || भुजा SR, AR = 5AP, AS = 5AQ तो सिद्ध कीजिए कि, SR = 5PQ

समलंब चतुर्भुज ABCD में, भुजा AB || भुजा DC विकर्ण AC तथा विकर्ण BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेदित करते हैं। यदि AB = 20, DC = 6, OB = 15 तो OD का मान ज्ञात कीजिए।

`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। भुजा BC पर E कोई एक बिंदु है ; रेखा DE रेख AB को बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करती है । तो सिद्ध कीजिए कि DE × BE = CE × TE।

संलग्न आकृति में रेख AC तथा रेख BD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं और `"AP"/"CP" = "BP"/"DP"` तो सिद्ध कीजिए कि, ΔABP ∼ ΔCDP.

संलग्न आकृति में ΔABC में बिंदु D यह भुजा BC पर इस प्रकार है, कि ∠BAC = ∠ADC तो सिद्ध कीजिए कि, CA² = CB × CD.

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 3:5 हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

ΔABC ~ ΔPQR और AB : PQ = 2 : 3 तो निम्नलिखित रिक्त चौखटों को पूरा कीजिए।

`("A"(Δ"ABC"))/("A"(Δ"PQR")) = "AB"^2/square = 2^2/3^2 = square/square`

ΔABC ~ ΔPQR, A(ΔABC) = 80, A(ΔPQR) = 125 तो निम्नलिखित रिक्त चौखटों को पूरा कीजिए।

`("A"(Δ"ABC"))/("A"(Δsquare)) = 80/125 = square/square`

∴ `"AB"/"PQ" = square/square`

ΔLMN ~ ΔPQR, 9 × A(ΔPQR ) = 16 × A (ΔLMN), यदि QR = 20 तो MN का मान ज्ञात कीजिए।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 225 वर्ग सेमी तथा 81 वर्ग सेमी है। यदि छोटे त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई 12 सेमी हो तो बड़े त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समबाहु ΔABC तथा ΔDEF में A(ΔABC) : A(ΔDEF) = 1 : 2 AB = 4 तो DE की लंबाई ज्ञात कीजिए।

आकृति में रेख PQ || रेख DE यदि A(ΔPQF) = 20 वर्ग इकाई, PF = 2 DP है, तो A(`square`DPQE) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।

A(ΔPQF) = 20 वर्ग इकाई, PF = 2 DP, माना DP = x ∴ PF = 2x

DF = DP + `square = square + square = 3x`

ΔFDE तथा ΔFPQ में।

∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)

∠FED ≅ ∠`square` (संगत कोण)

∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)

∴ `("A"(Δ"FDE"))/("A"(Δ"FPQ")) = square/square = (3x)^2/(2x)^2 = 9/4`

A(ΔFDE) = `9/4`A(ΔFPQ ) = `9/4 xx square = square`

A(`square`DPQE) = A(ΔFDE) - A(ΔFPQ)

= `square - square`

= `square` 

निम्नलिखित उपप्रश्न के पर्यायी उत्तर दिए गए हैं। इनमें से सही पर्याय चुनिए।

यदि ΔABC तथा ΔPQR में किसी एकैकी संगति से यदि `"AB"/"QR" = "BC"/"PR" = "CA"/"PQ"` तो निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?

निम्नलिखित उपप्रश्न के पर्यायी उत्तर दिए गए हैं। इनमें से सही पर्याय चुनिए।

यदि ΔDEF तथा ΔPQR में ∠D ≅ ∠Q, ∠R ≅ ∠E तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?

निम्नलिखित उपप्रश्न के पर्यायी उत्तर दिए गए हैं। इनमें से सही पर्याय चुनिए।

ΔABC तथा ΔDEF में ∠B = ∠E, ∠F = ∠C और AB = 3 DE, तो इन दोनों त्रिभुजों के लिए कौन-सा कथन सत्य है?

समबाहु ΔABC तथा ΔDEF में, A(ΔABC) : A(ΔDEF) = 1 : 2 होने पर AB = 4 हो तो DE की लंबाई कितनी?

आकृति में रेख XY || रेख BC तो निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?

ΔABC में B - D – C और BD = 7, BC = 20 तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए। 

`("A"(Δ"ABD"))/("A"(Δ"ADC"))`

ΔABC में B - D – C और BD = 7, BC = 20 तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए। 

`("A"(Δ"ABD"))/("A"(Δ"ABC"))`

ΔABC में B - D – C और BD = 7, BC = 20 तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए। 

`("A"(Δ"ADC"))/("A"(Δ"ABC"))`

समान ऊँचाईवाले दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 2 : 3 है, छोटे त्रिभुज का आधार 6 सेमी हो तो बड़े त्रिभुज का संगत आधार कितना होगा?

आकृति में ∠ABC = ∠DCB = 90° AB = 6, DC = 8 तो `("A"(Δ"ABC"))/("A"(Δ"DCB"))` = कितना?

आकृति में PM = 10 सेमी A(ΔPQS) = 100 वर्ग सेमी, A(ΔQRS) = 110 वर्ग सेमी तो NR का मान ज्ञात कीजिए।

ΔMNT ~ ΔQRS, बिंदु T से खींचे गए शीर्षलंब की लंबाई 5 तथा बिंदु S से खींचे गए शीर्षलंब की लंबाई 9 है, तो `("A"(Δ"MNT"))/("A"(Δ"QRS"))` यह अनुपात ज्ञात कीजिए।

आकृति में A – D – C व B – E – C रेख DE || भुजा AB यदि AD = 5, DC = 3, BC = 6.4 तो BE का मान ज्ञात कीजिए।

आकृति में, रेख PA, रेख QB, रेख RC तथा रेख SD ये रेखा AD पर लंब हैं। AB = 60, BC = 70, CD = 80, PS = 280 तो PQ, QR, RS का मान ज्ञात कीजिए।

ΔPQR में रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के समद्‌विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिंदु X और बिंदु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR.

दिए गए रिक्त स्थानों को भरकर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।

ΔPMQ में किरण MX यह ∠PMQ की समद्‌विभाजक है।

∴ `square/square = square/square` ........(I) (कोण समद्‌विभाजक प्रमेय)

ΔPMR में किरण MY यह ∠PMR की समद्‌विभाजक है।

∴ `square/square = square/square` ........(II) (कोण समद्‌विभाजक प्रमेय)

परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)

∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`

∴ XY || QR ............(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)

आकृति ΔABC में ∠B तथा ∠C के समद्‌विभाजक परस्पर एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करते हैं। रेखा AX यह भुजा BC को बिंदु Y पर प्रतिच्छेदित करती है; यदि AB = 5, AC = 4, BC = 6 तो `"AX"/"XY"` का मान ज्ञात कीजिए।

`square`ABCD में रेख AD || रेख BC. विकर्ण AC और विकर्ण BD परस्पर एक दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि `"AP"/"PD" = "PC"/"BP"`

आकृति में रेख XY || भुजा AC. यदि 2AX = 3BX और XY = 9 तो AC का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।

कृति : 2AX = 3BX 

∴ `"AX"/"BX" = square/square`

`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)

`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)

ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)

∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)

∴ `square/square = "AC"/9`

∴ AC = `square` ..........(I) से

आकृति में `square`DEFG एक वर्ग है। ΔABC में ∠A = 90°, बिंदु F भुजा AC पर स्थित है। तो सिद्ध कीजिए कि, DE² = BD × EC (ΔGBD तथा ΔCFE को समरूप दिखाइए और GD = FE = DE का उपयोग कीजिए।)